R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
Aus der Abb. 4.7 entnehmen wir den Zusammenhang
2a = r(φ = 0) + r(φ = π) .
Die Kombination beider Gleichungen ergibt mit (4.41)–(4.42) für den Wert der großen
Halbachse der Ellipse:
a = p
l
=
1 − ɛ2 2
� �
µα 1 − 1 + 2El2
µα2 �� = − α
2E
= −Gm1m2
2E
. (4.59)
Der Wert der großen Halbachse a ist also nur durch die Gesamtenergie E bei gegebenen
Massen m1, m2 bestimmt. (Dieses Ergebnis ist wichtig für die Bohr-Theorie der
Atome.)
Für die kleine Halbachse folgt
b = � a 2 − c 2 = � a 2 − ɛ 2 a 2
= |a| � 1 − ɛ2 = |p|
√
1 − ɛ2 =
l2 �
�
2El2 µα
l
= � =
2µ|E|
al2 .
µα
(4.60)
µα 2
4.5.2 Keplersche Gesetze der Planetenbewegung
Wir diskutieren jetzt die Ellipsenlösung für ein System, das aus der Sonne und aus einem
Planeten besteht. Als Bezugssystem wählen wir das Schwerpunktsystem mit � R = �0; aufgrund
von Gleichung (4.15) ist dies ein Inertialsystem. Gemäß den Gleichungen (4.5) gilt wegen
mp ≪ Ms im Schwerpunktsystem ( � R = �0) für die Ortsvektoren der Sonne und des Planeten:
und �rp = + Ms
�rS = − mp
�r � −
Ms + mp
mp
�r � �0 (4.61)
Ms
Ms + mp
�r � �r . (4.62)
r ist aber auch der Abstand zu einem der beiden Brennpunkte der Ellipse. Sonne und Planet
durchlaufen gegenläufige Ellipsenbahnen, wobei der gemeinsame Schwerpunkt in einem der
Brennpunkte der Ellipse liegt. Mit den Näherungen (4.61)–(4.62) für Ms ≫ mp erhalten wir
das
1. Keplersche Gesetz: Die Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen mit der Sonne in einem
Brennpunkt der Ellipse.
Das 2. Keplersche Gesetz bezeichnet den in Kap. 4.2.1 bewiesenen Flächensatz:
2. Keplersche Gesetz: Der Fahrstrahl �r überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen,
d.h.
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A ˙ = dA
dt
1 dφ 1
= r2 =
2 dt 2 r2φ ˙
l
= = const. (4.63)
2µ