R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

2.4.3 Konservatives Kraftfeld F = f(x)
2.4 Integration der Bewegungsgleichungen
Jedes rein ortsabhängige Kraftfeld f(x) ist ein konservatives Kraftfeld (2.25), da wir es als
Gradient
dV (x)
f(x) = −
dx
des Potentialfeldes
� x
V (x) = −
0
dx ′
�
f x ′�
darstellen können.
(2.54)
Multiplizieren wir die Bewegungsgleichung mit ˙x, so folgt
m¨x ˙x = m
2
d
dt
Durch Integration über die Zeit folgt mit (2.54)
oder
� ˙x 2 � = f(x) ˙x = f(x) dx
dt .
� x
m
2 v2 − m
2 v2 0 = dx
x0
′
�
f x ′�
= −V (x) + V (x0) ,
m
2 v2 + V (x) = m
2 v2 0 + V (x0) = E = const. (2.55)
der Energiesatz (2.29) für dieses spezielle konservative Kraftfeld. Die Summe aus kinetischer
und potentieller Energie ist also ein Bewegungsintegral bzw. eine Erhaltungsgröße.
Durch Auflösen von Gleichung (2.55) nach v erhalten wir
v = dx
dt =
und daraus durch Trennung der Variablen
t − t0 =
� x
x0
�
2
(E − V (x))
m
ds
� . (2.56)
2
m (E − V (s))
Das Problem lässt sich also auf Quadraturen (Integrale) zurückführen und ist damit vollständig
gelöst.
Unabhängig von der speziellen Form des konservativen Kraftfeldes f(x) oder des Potentialverlaufs
V (x) lassen sich aus den Lösungen (2.55)–(2.56) allgemeine Aussagen zur Bewegungsform
ableiten, insbesondere lassen sich Bedingungen für eine oszillierende Bewegung
aufstellen. Jedes Teilchen im Potentialfeld V (x) beginnt seine Bewegung am Ort x0 mit der
Geschwindigkeit ˙x0:
1. Damit es zu diesem Ort zurückkehrt, muss sich die Geschwindigkeit an irgendeinem
anderen Punkt U1 (sog. Umkehrpunkt) umkehren, d.h. dort gilt ˙xU1 = 0. Es durchläuft
dann den Anfangspunkt mit entgegengesetzter Geschwindigkeit und damit es nach dem
Durchlaufen wieder an den Anfangspunkt zurückkehrt, braucht man einen zweiten
Umkehrpunkt U2 mit ebenfalls ˙xU2 = 0. Des Weiteren muss bei den Umkehrpunkten
die Kraft (dV/dx)U1,U2 �= 0 nichtverschwindend sein.
57