R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.3 Kanonische Transformationen
vertauscht die Rolle von Impulsen und Koordinaten, denn aus den Transformationsgleichungen
(5.58)–(5.59) folgt
pj = ∂F1
∂qj
und Pj = − ∂F1
∂Qj
= Qj
= −qj .
Dieses Beispiel zeigt sehr schön die Gleichwertigkeit von Begriffen wie Koordinaten und
Impulsen in der Hamilton-Mechanik.
Übungsaufgabe:
A5.3.2) Zeigen Sie, dass auch F4 = − �
j pjPj die Vertauschungstransformation ergibt.
(d) Spezielle Transformation:
Für spätere Diskussion betrachten wir die Erzeugende
F1 (q, Q, t) = m
2 ωq2 cot Q , (5.74)
wobei m und ω Konstanten bezeichnen.
Aus den Transformationsgleichungen (5.58)–(5.59) erhalten wir dann
p = ∂F1
= mωq cot Q
∂q
und P = − ∂F1
= −m
∂Q 2 ωq2
1
− sin2 mωq2
=
Q 2 sin2 oder
und damit
q
p
=
=
Q
�
2P
sin Q
mω
�
2P Q
mω sin Qcos
mω sin Q
(5.75)
= √ 2mωP cos Q . (5.76)
Da die Erzeugende (5.74) die Zeit nicht enthält, folgt aus Gleichung (5.60) für die neue
Hamilton-Funktion
¯H (Q, P ) = H (q (Q, P ) , p (Q, P )) . (5.77)
Wir wenden diese spezielle Erzeugende auf den Fall des linearen harmonischen Oszillators an.
5.3.3 Anwendung: linearer harmonischer Oszillator
Mit V = (k/2)q 2 gilt für die Hamilton-Funktion des linearen harmonischen Oszillators
H = T + V = m
2 ˙q2 + kq2
2
p2 kq2
= +
2m 2 .
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