R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6.8 Lagrange-Mechanik des starren Körpers
Für sehr große Absolutwerte von |u| → ∞ verhält sich f asymptotisch wie
f (|u| ≫ 1) � 2Mgl
u
Θ1
3 �
+∞ für u → ∞
→
−∞ für u → ∞
Für die Werte u = ±1 ist
�
pφ ∓ pψ
f (u = ±1) = −
negativ, so dass eine der drei Nullstellen u3 > 1 von f im Gebiet u > 1 liegt. Qualitativ
ergibt sich das in Abb. 6.18 gezeigte Verhalten der Funktion f(u).
−1
u 1
f(u)
u 2
Θ1
1
� 2
u 3
< 0
Abbildung 6.18: Qualitatives Verhalten der Funktion f(u)
Die beiden anderen Nullstellen liegen zwischen −1 ≤ u1 ≤ u2 < 1. Der Winkel Θ läuft dann
zwischen den Grenzwerten
arccos u1 ≤ θ ≤ arccos u2 . (6.133)
Diese Neigung der Figurenachse wird Nutation genannt.
Es ist üblich, die Bewegung des Kreisels dadurch zu beschreiben, dass man die Schnittkurve
der Figurenachse auf einer Kugel mit Einheitsradius um den festgehaltenen Punkt aufträgt.
Diese Kurve wird Locus der Figurenachse genannt. Die Kugelkoordinaten der Punkte auf
dem Locus sind mit den Eulerschen Winkeln φ und θ identisch. Nach Bedingung (6.133)
liegt der Locus zwischen den Kreisen θ1 und θ2. Der Verlauf des Winkels φ richtet sich nach
den Werten von Gleichung (6.123):
˙φ = pφ − pψ cos θ
Θ1 sin 2 θ
für die möglichen Werte von θ.
Je nach den Werten vom Zähler pφ − pψ cos θ dieses Ausdrucks kann man vier Fälle unterscheiden:
u
233