R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.3 Komponentendarstellung von Vektoren in kartesischen Koordinaten
(b) Multiplikation mit Skalaren:
�
p�a = p ax�i + ay�j + az � �
k = (pax)�i + (pay)�j + (paz) �k .
(c) Für das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt sich unter Ausnutzung der Orthonormalitätsrelationen
(1.3)
�a · �b =
�
ax�i + ay�j + az � � �
k · bx�i + by�j + bz � �
k
= axbx �i ·�i + axby �i · �j + axbz �i · � k
+aybx �j ·�i + ayby �j · �j + aybz �j · � k
+azbx � k ·�i + azby �j · � k + azbz � k · � k
= axbx + ayby + azbz (1.12)
oder mit ax = a1 , ay = a2 , az = a3 ,
3�
d.h. �a = an�en
und � b =
kurz geschrieben als �a · � b =
n=1
3�
am�em
m=1
3�
anbn . (1.13)
n=1
Mit der Komponentendarstellung lässt sich der Winkel zwischen zwei Vektoren φ bequem
ausrechnen. Es gilt mit Gleichung (1.12)
�a · �b = ab cos φ = axbx + ayby + azbz ,
⎡
axbx + ayby + azbz
so dass φ = arccos ⎣�
a2 x + a2 y + a2 z
�
Beispiel: Gegeben seien die Vektoren
�a = 6�i + 4�j + 3 � k
und � b = 2�i − 3�j − 3 � k .
Dann ist
�a · � b = 12 − 12 − 9 = −9
b 2 x + b 2 y + b 2 z
a = √ 36 + 16 + 9 = √ 61 = 7.81 ,
und b = √ 4 + 9 + 9 = √ 22 = 4.69 ,
so dass cos φ =
−9
= −0.246
7.81 · 4.69
und φ = 1.82 radian ,
oder φ = 104.2 Grad .
⎤
⎦ . (1.14)
(1.15)
9