R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Die Lagrange-Gleichungen (3.185) und (3.186) lauten dann
M ¨x − Mg sin φ + λ = 0 (3.187)
und MR 2 ¨ Θ − λR = 0 . (3.188)
Wir leiten die Zwangsbedingung (3.182) zweimal nach der Zeit ab und erhalten
und setzen dies in Gleichung (3.188) ein. Dann erhalten wir
so dass aus Gleichung (3.187) folgt
¨x =
g sin φ
2
Mit Gleichung (3.189) ergibt sich dann sofort
R ¨ Θ = ¨x (3.189)
M ¨x = λ , (3.190)
¨Θ =
und λ =
g sin φ
2R
Mg sin φ
2
. (3.191)
. (3.192)
Die Gleichungen (3.191) und (3.192) lassen sich sofort zweimal über die Zeit integrieren und
ergeben die allgemeine Lösung.
Wir erkennen an Gleichung (3.191a), dass das Fass die schiefe Ebene nur mit der halben
Beschleunigung hinabrollt, die es hätte, wenn es eine reibungslose Ebene hinabglitte. Die
Zwangskraft in negative x-Richtung hat die Stärke λ = Mg sin φ/2.
Übungsaufgabe:
(A3.11.1) Ein anfänglich ruhender Körper fällt aus einer Höhe von 20 m und erreicht den
Erdboden nach 2 Sekunden. Zahlenmäßig wäre die Gleichung zwischen der Fallhöhe s und
der Zeit t mit folgenden drei Gesetzen verträglich:
s = g1t , s = 1
2 g2t 2 , s = 1
4 g3t 3 ,
mit g1 = 10 m/s , g2 = 10 m/s 2 , g3 = 10 m/s 3 .
Zeigen Sie, dass das richtige Fallgesetz ein Minimum für das Wirkungsintegral des Hamilton-
Prinzips ergibt.
3.11.6 Das Wesentliche der Lagrange-Dynamik
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1. Die Lagrange-Mechanik ist keine neue Theorie: sie ist völlig äquivalent zur Newton-
Mechanik. Nur die Methode ist anders.