R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Definition 2: qk heißt zyklische Koordinate, falls
∂L
∂qk
= 0 . (3.196)
Mit diesen beiden Definitionen folgt der Satz: Ist qk zyklisch, so bleibt der dazugehörende
kanonisch konjugierte Impuls erhalten.
Die Definition 1 ist plausibel, wie folgende zwei Beispiele zeigen:
(i) Ist das Potential V geschwindigkeitsunabhängig und qk repräsentiere die kartesische
Koordinate. Dann reduziert sich für einen Massenpunkt m der kanonisch konjugierte
Impuls
px = ∂L
∂ ˙x
auf die x-Komponente des linearen Impulses.
� �
∂ 1
= m ˙x2 = m ˙x
∂ ˙x 2
(ii) Falls bei Polarkoordinaten qk ein Winkel ist, so erhält man aus (∂L/∂qk) ˙ einen Drehimpuls.
Erweitert man von der Ortskoordinate x mit dem dazugehörenden kanonisch konjugierten
Impuls (∂L/∂ ˙x) auf den Ortsvektor �r = (x, y, z), so bezeichnet
� �
∂L ∂L ∂L
, , (3.197)
∂ ˙x ∂ ˙y ∂ ˙z
�p = ∂L
∂ ˙ �r = � ∇ ˙ �r L =
entsprechend den dazugehörigen kanonisch konjugierten Impulsvektor.
3.12.1 Energieerhaltungssatz
Wir beweisen jetzt den Energieerhaltungssatz: Die Summe aus kinetischer und potentieller
Energie eines physikalischen Systems ist erhalten, falls das System abgeschlossen und das
Potential konservativ ist. Abgeschlossen heißt: Es findet keine Wechselwirkung des Systems
mit der Außenwelt statt, so dass
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1. die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, d.h.
2. und auch
∂L
∂t
(a) die Zwangsbedingungen und
(b) das Potential nicht explizit von der Zeit abhängig sind.
= 0 , (3.198)
Bedingung (a) impliziert, dass die Koordinatentransformationsgleichungen (3.81) zeitunabhängig
sind,
∂�rj
∂t = �0 .