R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Kombinieren wir die Gleichungen (3.176) und (3.178), so erhalten wir den kompletten Satz
Lagrange-Gleichungen für nichtholonome Systeme zu
d
dt
� ∂L
∂ ˙qi
�
− ∂L
−
∂qi
m�
λjaji = 0 , i = 1, 2, . . . , n (3.179)
j=1
und es gilt weiterhin (3.170) als Differentialgleichung
n�
ajk ˙qk + aj = 0 , j = 1, . . . , m . (3.180)
k=1
(3.179) und (3.180) sind n + m Gleichungen für n + m Unbekannte.
Bemerkung 1: Die Gleichungen (3.170)–(3.171) schließen auch holonome Zwangsbedingungen
G (q1, . . . , qn, t) = 0
mit ein, denn diese können auch differentiell als
n� ∂G
dqk +
∂qk
∂G
dt = 0
∂t
k=1
geschrieben werden, was mit (3.170) identisch ist für
ajk = ∂G
∂qk
, aj = ∂G
∂t
. (3.181)
Wir können also diese Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren auch für holonome Zwangsbedingungen
verwenden,
1. wenn es unbequem ist, alle Koordinaten auf unabhängige verallgemeinerte Koordinaten
zu transformieren, und/oder
2. wenn man die Zwangskräfte berechnen will.
Bemerkung 2: Die Gleichungen (3.170)–(3.171) schließen nicht alle nichtholonomen Zwangsbedingungen
ein, wie z.B. Ungleichungen.
3.11.5 Beispiel: Rollendes Fass
Wir wollen das gerade Erlernte an einem Beispiel demonstrieren. Wir betrachten ein Fass,
das ohne Schlupf eine schiefe Ebene hinabrollt (Abb. 3.11).
Die zwei generalisierten Koordinaten sind (q1, q2) = (x, Θ) (siehe Abb. 3.11) und die Zwangsbedingung
lautet
x = RΘ . (3.182)
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