R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
erfüllen. Durch Differenzieren nach der Zeit folgt daraus
oder
3N�
i=1
∂Gj
∂xi
dGj
dt =
3N�
i=1
∂Gj
˙xi = − ∂Gj
∂t
∂xi
˙xi + ∂Gj
∂t
Setzen wir dieses Ergebnis in Gleichung (3.66) ein, erhalten wir
d
(T + U) = −
dt
= 0 ,
. (3.67)
p�
j=1
∂Gj
λj
∂t
. (3.68)
Wir folgern: Sind die Kräfte konservativ und die Zwangsbedingungen zeitunabhängig (skleronom),
so ist die Summe T + U aus kinetischer und potentieller Energie konstant.
Für das in Abschnitt 3.2 diskutierte ebene Pendel gilt dieser Energieerhaltungssatz.
3.6 Das Prinzip von d’Alembert
Wir beginnen wieder mit der Bewegungsgleichung (3.5) für einen Massenpunkt
und betrachten zunächst den statischen Fall
Dann herrscht das Gleichgewicht der Kräfte
m ¨ �r = � K + � Z
¨�r = �0 .
3.6.1 Virtuelle Verrückung δ�r eines Massenpunktes
�K + � Z = �0 . (3.69)
Unter einer virtuellen Verrückung δ�r eines Massenpunktes (oder allgemeiner δ�ri des Massenpunktes
i) verstehen wir eine infinitesimal kleine, gedachte Ortsveränderung mit zwei
wesentlichen Eigenschaften:
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(a) Sie verläuft in Übereinstimmung mit den Zwangsbedingungen (z.B. entlang der schiefen
Ebene), d.h. anstatt der Aussage � Z � grad G tritt das Prinzip der virtuellen Arbeit
denn � Z ⊥ δ�r.
Allgemeiner lautet Gleichung (3.70)
�
Zwangskräfte verrichten keine virtuelle Arbeit!
i
�Z · δ�r = 0 , (3.70)
�Zi · δ�ri = 0 . (3.71)