R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

χ’
θ
χ
η’
ξ = ξ’
Abbildung 6.15: Ergebnis der 2. Drehung
η
6.7 Die Eulerschen Winkel
Führen wir damit die Operation (6.99) nacheinander aus:
ˆD (φ) �x =
⎛
cos φ
⎝−
sin φ
sin φ
cos φ
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
0 x x cos φ + y sin φ
0⎠
⎝y⎠
= ⎝−x
sin φ + y cos φ⎠
,
Ĉ (θ)
0 0 1 z
z
ˆ D (φ) �x =
⎛
1
⎝0
0
cos θ
⎞ ⎛
⎞
0 x cos φ + y sin φ
sin θ⎠
⎝−x
sin φ + y cos φ⎠
,
0
⎛
− sin θ cos θ
x cos φ + y sin φ
z
⎞
= ⎝(−x
sin φ + y cos φ) cos θ + z sin θ⎠
(x sin φ − y cos φ) sin θ + z cos θ
und
ˆB(ψ) Ĉ(θ) ˆ D(φ)�x
⎛
cos ψ sin ψ
⎞ ⎛
0
x cos φ + y sin φ
⎞
= ⎝−
sin ψ cos ψ 0⎠
⎝(−x
sin φ + y cos φ) cos θ + z sin θ⎠
⎛
0 0 1 (x sin φ − y cos φ) sin θ + z cos θ
[x cos φ + y sin φ] cos ψ + z sin ψ sin θ + sin ψ cos θ [−x sin φ + y cos φ]
⎞
= ⎝−
[x cos φ + y sin φ] sin ψ + z cos ψ sin θ + cos ψ cos θ [−x sin φ + y cos φ] ⎠ .
(x sin φ − y cos φ) sin θ + z cos θ
Gemäß Gleichung (6.101) folgt dann für die gesamte Drehmatrix
⎛
cos φ cos ψ − sin φ sin ψ cos θ
 = ⎝−
cos φ sin ψ − sin φ cos ψ cos θ
sin φ cos ψ + cos φ sin ψ cos θ
− sin φ sin ψ + cos φ cos ψ cos θ
⎞
sin ψ sin θ
cos ψ sin θ⎠
sin φ sin θ − cos φ sin θ cos θ
. (6.102)
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