R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
für die Funktion W (q|P ). Es folgt
und nach Integration
dW
dq
�
W = mω
= mω
� 2α
− q2
mω2 �
2α
dq
mω2 − q2 + const .
Für die Lösung der HJD (5.99) folgt
S (q, α, t) =
� �
2α
mω dq
mω2 − q2 =
− αt + const
� �
q 2α
mω
2 mω2 − q2 + α
� �
mω
arcsin q
mω2 2
��
− αt + const . (5.100)
2 |α|
Der neue Impuls ist
(c) Wir setzen
Q = ∂S
= β = const
∂α
und erhalten mit der Lösung (5.100)
β = 1
�
ω
oder β + t = 1
ω arcsin
P = α . (5.101)
�
2α
dq
− q2
mω2 �
qω
� −1/2
− t
� �
m
. (5.102)
2α
Wir lösen diese Gleichung nach q auf:
q = 1
�
2α
sin ω (t + β) . (5.103)
ω m
Offensichtlich hat die neue Ortskoordinate Q = β die Dimension Zeit.
(d) Den alten Impuls berechnen wir aus
p = ∂S
∂q
= dW
dq
und setzen das Ergebnis (5.103) für q ein. Mit
erhalten wir
184
�
2α
= mω
mω2 − q2 (5.104)
2α
mω2 − q2 = 2α
mω2 � � 2 2α
1 − sin ω (t + β) =
mω2 cos2 ω (t + β) (5.105)
p = √ 2αm cos ω (t + β) . (5.106)