R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

p
Amω
A A
5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
Amω
Abbildung 5.2: Phasenraumdiagramm des eindimensionalen harmonischen Oszillators.
Die gestrichelte Kurve repräsentiert eine höhere Gesamtenergie H ′
Weil die Hamilton-Funktion konstant ist, hat Gleichung (5.14) die Gestalt einer Ellipsengleichung
im Phasenraum, d.h. in den Koordinaten p und x, wie in Abb. 5.2 skizziert.
Die eingeschlossene Fläche im Phasenraum ist durch
�
F =
x
p dx (5.15)
gegeben und hat die Dimension einer Wirkung. Spalten wir das Integral in einen Teil oberhalb
und einen Teil unterhalb der x-Achse auf, oder transformieren wir auf das entsprechende
Zeit-Integral, so folgt
F =
� 2π
ω
0
dt p(t) dx
dt = mA2ω 2
� 2π
ω
0
dt sin 2 ωt
= mA 2 2 π
ω
ω = πmωA2 = πA 2√ mk . (5.16)
5.1.6 Beispiel 2: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
Nach Gleichung (3.238) lautet die Lagrange-Funktion
Daraus erhalten wir den konjugierten Impuls zu
L = 1
2 m�v2 − eΦ + e
c � A · �v . (5.17)
�p = ∂L e
= m�v +
∂�v c � A , (5.18)
oder �v = 1
�
�p −
m
e
c � �
A . (5.19)
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