R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

2.4 Integration der Bewegungsgleichungen
Dieses Kraftgesetz hat eine besondere Bedeutung in der Physik, da man komplizierte beliebige
Kraftfelder F (x) oft durch Taylor-Entwicklung um einen Punkt x0 entwickelt
� �
dF
F (x) � F (x0) + x
+
dx
x2
�
d2F 2 dx2 �
+ . . . . (2.59)
x=x0
Bei kleinen Auslenkungen |x − x0| ≪ x0 berücksichtigt man nur den Term 1. Ordnung in
der Entwicklung, und nach Berücksichtigung von F (x0) in einer erneuten Normierung ergibt
sich gerade das Hookesche Kraftgesetz
F (x) − F (x0) � −kx , mit k = −
x=x0
� �
dF
dx x=x0
. (2.60)
Als Anfangsbedingung benutzen wir, dass für t = 0 das Teilchen an der Stelle a ruht ˙x = v =
0 (siehe Abb. 2.3). Die rücktreibende Kraft (2.58) sorgt dann zunächst für die Bewegung
des Teilchens zum Punkt x = 0 hin.
V(x)
a a
rücktreibende Kräfte
Abbildung 2.3: Zum harmonischen Oszillator
Das Kraftgesetz (2.58) ist konservativ, da es sich als Ableitung des Potentials V (x) = 1/2kx 2
darstellen lässt. Deshalb gilt der Energiesatz (2.55) oder (2.29) in der Form
Aus der Anfangsbedingung erschließen wir
T + V = m
2 ˙x2 + k
2 x2 = E = const. . (2.61)
T (t = 0) = m
2 ˙x2 x=a = 0 ,
so dass die Gesamtenergie E durch
E = k
2 a2
gegeben ist. Der Energiesatz (2.61) reduziert sich dann auf
(2.62)
� �2 m dx
2 dt
= k � 2 2
a − x
2
�
oder
dx
dt
=
�
k
±
m (a2 − x2 ) . (2.63)
x
59