R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

8 Kosmologie fast ohne Allgemeine Relativitätstheorie
Die Zahl der reellen Lösungen hängt ab vom Wert der Diskriminante
D =
�
x
�2 −
8
� 1
4
� 3
= x2 − 1
64
Für D > 0 oder Ωm < 1/2 erhalten wir als einzige reelle Lösung
y1 = 1
2
und damit Ωv1 = 4Ωmy 3 1
= 1 − Ωm + 3
2 Ω2/3 m
1
=
64Ω2 [1 − 2Ωm] . (8.51)
m
��� �1/3 �� � �
1/3
x2 − 1 − x − x2 − 1 + x
− 3
2 Ω2/3 m
�� 1 − 2Ωm + 1 − Ωm
�� 1 − 2Ωm − 1 + Ωm
� 1/3
� 1/3
Für D = 0 oder Ωm = 1/2 ist x = −1, und Gleichung (8.50) reduziert sich auf
4y 3 �
− 3y − 1 = 4 (y − 1) y + 1
�2 = 0 ,
2
mit den Lösungen y1 = 1 und y2 = −1/2, so dass
. (8.52)
Ωv1 = 2 , Ωv2 = − 1
. (8.53)
4
Für D < 0 oder Ωm > 1/2 erhalten wir die drei reellen Lösungen
oder
y1
y2
y3
Ωv1
=
=
=
=
� �
1
cos arccos x ,
3
� �
1
π
cos arccos x + ,
3 3
� �
1
π
cos arccos x − ,
3 3
4Ωm cos
(8.54)
(8.55)
(8.56)
3
Ωv2 =
� �
1
arccos x
3
4Ωm cos
(8.57) ,
3
Ωv3 =
� �
1
π
arccos x + ,
3 3
4Ωm cos
(8.58)
3
� �
1
π
arccos x − .
3 3
(8.59)
8.8 Rotverschiebung, Lichtlaufzeit und Alter des Universums
Licht, das von einer entfernten Galaxie bei der Wellenlänge λ emittiert wird, wird von einem
Beobachter hier bei der Wellenlänge λ0 beobachtet, wobei
260
λ0 = λ(1 + z) (8.60)