R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
Eine konkrete Wahl der drei die Rotation eines starren Körpers beschreibenden Koordinaten
wären die Drehwinkel um die drei festen Raumachsen. Jeder dieser drei Drehungen wird
durch eine Matrix der Form (6.9) beschrieben. Drehungen, bzw. die zugehörigen Matrixmultiplikationen,
sind aber im Allgemeinen nicht kommutativ, so dass es auf die Reihenfolge der
Drehungen ankommt. Deshalb betrachten wir zunächst Drehungen, die sich als kommutativ
erweisen werden.
6.2 Infinitesimale Drehungen
Wir betrachten die Verknüpfung zweier Drehungen, die durch die Drehmatrizen A und B
wiedergegeben werden:
�a = A�x , � b = B�x .
Die zwei Möglichkeiten der Reihenfolge �c1 = BA�x und �c2 = AB�x sind für endliche Drehungen
im Allgemeinen verschieden �c1 �= �c2, wie man am Beispiel einer Streichholzschachtel,
die man in verschiedener Reihenfolge um 2 raumfeste Achsen jeweils um neunzig Grad dreht,
leicht feststellt (Abb. 6.3).
x
x
Ausgangslage
z
z
y
y
90° um z gedreht 90° um y gedreht
x
x
z
z
Ausgangslage 90° um y gedreht
90° um z gedreht
y
y
x
z
z
x y
Abbildung 6.3: Endliche Drehungen eines starren Körpers
Für die Transformation einer Koordinate gilt nach Gleichung (6.7)
x ′
3�
i = aikxk . (6.10)
k=1
Wir betrachten den Fall, dass es sich bei den Matrizen A und B jeweils um eine nahezu
identische Transformation handelt, d.h.
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aik = δik + ɛik , (6.11)
y