R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
Definition Skalare Felder: Unter einem skalaren Feld versteht man eine skalare Funktion
ψ(x, y, z), die jedem Punkt P (x0, y0, z0) den skalaren Wert ψ(x0, y0, z0) zuordnet, wie z. B.
Temperaturfelder, Massendichte und Ladungsdichte.
Definition Vektorielle Felder: Unter einem vektoriellen Feld versteht man eine Vektorfunktion
� A(x, y, z), die jedem Punkt P (x0, y0, z0) den Vektor � A(x0, y0, z0) zuordnet, wie z.B.
Geschwindigkeitsfelder in Flüssigkeiten und Feldstärkevektoren � E, � H in der Elektrodynamik.
Gegeben seien nun ein Punkt P (x0, y0, z0) und ein Skalarfeld ψ(x, y, z).
Definition Gradient: grad ψ(x0, y0, z0) = � ∇ψ(x0, y0, z0) ist der Vektor, der in Richtung
des stärksten Anstiegs der Funktion ψ zeigt und dessen Betrag die Änderung von ψ pro Wegstrecke
in Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt P (x0, y0, z0) ist. (Beispiel: Höhenlinien
auf Wanderkarten)
y
Abbildung 1.14: Gradient in einer Höhenlinienkarte
Jedem Punkt eines Skalarfeldes ordnet man so einen Gradientenvektor zu. Die Gesamtheit
aller Gradientenvektoren bildet ein dem Skalarfeld zugeordnetes Vektorfeld, dass sich mathematisch
durch
�A(x, y, z) = grad ψ(x, y, z) = � ∂ψ ∂ψ ∂ψ
∇ψ(x, y, z) = �e1 + �e2 + �e3
∂x ∂y ∂z
darstellen lässt. Wir können also den Nabla-Operator � ∇ schreiben als
φ
x
(1.85)
�∇
∂ ∂ ∂
= �e1 + �e2 + �e3 . (1.86)
∂x ∂y ∂z
Beweis : Zum Beweis der Beziehungen (1.85) und (1.86) berechnen wir das totale Differential
der Funktion ψ, dass sich durch Taylor-Entwicklung der Funktion ψ(x+dx, y+dy, z+dz)
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