R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Definition : Wir definieren die Poisson-Klammer von f und H durch
[f, H] ≡
i=1
Damit schreibt sich Gleichung (5.28) als
5.2 Poisson-Klammern
s�
�
∂f ∂H
−
∂qi ∂pi
∂f
�
∂H
. (5.29)
∂pi ∂qi
df
dt
= ∂f
∂t
Falls f nicht explizit von der Zeit abhängt ((∂f/∂t) = 0), gilt
df
dt
+ [f, H] . (5.30)
= [f, H] .
Es liegt also ein Integral der Bewegung oder eine Erhaltungsgröße vor, d.h. die Messgröße
ist zeitlich konstant, df/dt = 0, wenn
[f, H] = 0 (5.31)
die Poisson-Klammer von f mit der Hamilton-Funktion H verschwindet.
Analog zur Definition (5.29) führen wir die allgemeine Poisson-Klammer für ein beliebiges
Paar von Funktionen ein durch
[f, g] ≡
s�
�
∂f ∂g
i=1
∂qi ∂pi
− ∂f
�
∂g
∂pi ∂qi
5.2.1 Eigenschaften der allgemeinen Poisson-Klammer
. (5.32)
Seien die Funktionen f1, f2, f, g, h und die Konstante c = const. gegeben. Aus der Definition
(5.32) beweist man sofort durch Einsetzen folgende Eigenschaften der Poisson-Klammer:
(a) Antisymmetrie [f, g] = − [g, f] , (5.33)
mit der Folgerung [f, f] = − [f, f] = 0 (5.34)
(b) [f, c] = 0 (5.35)
(c) Bilinearität [f1 + f2, g] = [f1, g] + [f2, g] (5.36)
(d) [f1 · f2, g] = f1 [f2, g] + f2 [f1, g] (5.37)
� � �
∂
∂f
(e)
[f, g] = , g + f,
∂t ∂t ∂g
�
(5.38)
∂t
(f) Schwieriger zu beweisen ist die Jacobi-Identität:
[f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0 . (5.39)
171