R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4.4 Mathematische Zwischenbetrachtung über Kegelschnitte in Polarkoordinaten
b
a x
P
r’ y
x
F’ (−c,0)
r
y
a a
b
a x
φ
F (c,0)
Abbildung 4.9: Hyperbel
Mit p = a(1 − ɛ 2 ) < 0 ist diese Gleichung identisch mit Gleichung (4.43).
Verwenden wir die kartesischen Koordinaten x, y des Punktes P so gilt:
Eingesetzt in Gleichung (4.50) ergibt
Quadrieren dieser Gleichung führt auf
r 2 = y 2 + (c − x) 2 , r ′ 2 = y 2 + (c + x) 2 .
2a = � y 2 + (c − x) 2 − � y 2 + (c + x) 2 .
4a 2 = y 2 + (c − x) 2 + y 2 + (c + x) 2
−2 � (y 2 + (c − x) 2 ) (y 2 + (c + x) 2 ) ,
oder mit c 2 = b 2 + a 2
y 2 + x 2 + c 2 − 2a 2 = y 2 + x 2 + b 2 − a 2
Nochmaliges Quadrieren und Ordnen ergibt
Mit
= � (y 2 + (c − x) 2 ) (y 2 + (c + x) 2 ) .
x 2 � 2c 2 + 2b 2 − 2a 2� + y 2 � 2b 2 − 2a 2 − 2c 2� = c 4 − � b 2 − a 2� 2 .
c 2 = a 2 + b 2
ergibt sich 4b 2 x 2 − 4a 2 y 2 = 4a 2 b 2 ,
x
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