R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
Offensichtlich ist die linke Seite von Gleichung (5.7) das totale Differential dH, das ebenfalls
auch durch
s�
s�
∂H ∂H
dH = dqj + dpj +
∂qj ∂pj
∂H
dt (5.9)
∂t
j=1
gegeben ist. Durch Vergleich mit Gleichung (5.7) folgen die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen,
die auch als kanonische Bewegungsgleichungen bezeichnet werden:
∂H
∂qj
∂H
∂pj
∂H
∂t
j=1
= − ˙pj (5.10)
= ˙qj (5.11)
= −∂L
∂t
. (5.12)
Damit haben wir die s Differentialgleichungen 2. Ordnung in der Lagrange-Formulierung auf
2s Differentialgleichungen 1. Ordnung in der Hamilton-Formulierung reduziert.
Die kanonischen Gleichungen (5.10)–(5.11) zeigen sehr deutlich die Symmetrie und Gleichwertigkeit
von Ort und Impuls auf. Die kanonischen Gleichungen zeichnen weder Ort noch
Impuls besonders aus.
5.1.3 Der Phasenraum
Der mit der neuen Darstellung aufgespannte 2s-dimensionale Raum heißt Phasenraum. Anschaulich
kann der Phasenraum nur im Fall s = 1 dargestellt werden (Abb. 5.1).
p
(q (t),p (t))
Abbildung 5.1: Illustration des Phasenraums für s = 1
Die in Abb. 5.1 skizzierte Kurve beschreibt die Zustände von Ort und Impuls, die das Teilchen
als Funktion des Parameters t (Zeit) durchläuft. Die Zustände sind durch die Variation der
Hamilton-Funktion bestimmt. Die Kurve stellt die Niveaufläche für H = const. dar. Das
gezeigte Beispiel entspricht einer periodischen Bewegung.
q
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