R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Das Einsetzen von Gleichung (3.47) in die Bewegungsgleichungen (3.44a) und (3.44c) ergibt
dann
m¨x = −λ tan α = −mg tan α cos 2 α = −mg sin α cos α , (3.49)
und m¨z = λ − mg = −mg(1 − cos 2 α) = −mg sin 2 α , (3.50)
die identisch zu den Gleichungen (3.2) sind. Als Lösung erhält man sofort zusätzlich zu
Gleichung (3.45)
x(t) = a2 + a1t − g
2 t2 sin α cos α ,
z(t) = c2 + c1t − g
2 t2 sin 2 α . (3.51)
Die Integrationskonstanten a1, a2, b1, b2, c1, c2 sind so zu bestimmen, dass die Anfangsbedingungen
und die Zwangsbedingung (3.42) erfüllt sind. Aus y(t = 0) = ˙y(t = 0) = 0 folgt
sofort b1 = b2 = 0. Mit Gleichung (3.51) erhalten wir für die Zwangsbedingung (3.42) für
alle Zeiten
z(t) − x(t) tan α = c2 + c1t − g
2 t2 sin 2 α − (a2 + a1t) tan α + g
2 t2 sin α cos α tan α
= c2 + c1t − (a2 + a1t) tan α = 0 ,
oder nach Multiplikation mit cos α:
(c1 cos α − a1 sin α) t + c2 cos α − a2 sin α = 0 . (3.52)
Weil Gleichung (3.52) für alle Zeiten t gelten muss, folgt
a1 sin α = c1 cos α, a2 sin α = c2 cos α (3.53)
Damit sind nur noch zwei der ursprünglich sechs Integrationskonstanten offen.
Wählen wir a1 = V0 cos α und c1 = V0 sin α, was a2 = r0 cos α und c2 = r0 sin α mit
V0 = r0 ˙ impliziert, so erhalten wir nach (3.51) und (3.45)
x(t) =
�
− g
2 t2 �
sin α + V0t + r0 cos α ,
y(t)
z(t)
=
=
0 ,
�
− g
2 t2 �
sin α + V0t + r0 sin α ,
oder x(t) = r(t) cos α ,
y(t) = 0 ,
z(t) = r(t) sin α , (3.54)
mit r(t) = − g
2 t2 sin α + V0t + r0 , (3.55)
womit das Problem vollständig gelöst ist.
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