R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.6.2 Beispiel: Teilchen im Schwerefeld
Die Hamilton-Funktion H = T + V = E ist
H = 1 � 2
px + p
2m
2 y + p 2� z + mgz .
5.6 Separation der Variablen
Die Koordinaten x und y sind zyklisch, so dass px = αx = const., py = αy = const. Nach
Gleichung (5.131) wählen wir für die charakteristische Funktion W den Ansatz
W = W1(z) + αxx + αyy
und erhalten für die HJD in diesem Fall
��dW1 �2 1
+ α
2m dz
2 x + α 2 so dass W1(z) =
�
y + mgz = E ,
�
dz � 2m (E − mgz) − α 2 x − α 2�1/2 y
und W = − 1
3m 2 g
= − 1
3m2 � 2
2m (E − mgz) − αx − α
g
2�3/2 y
� 2
2m (E − mgz) − αx − α 2�3/2 y + αxx + αyy . (5.139)
Wir setzen wieder E = α1 und erhalten aus Gleichung (5.136) die drei Gleichungen
(a) Q1 = β1 = ∂W 1 � 2
− t = − 2m (E − mgz) − αx − α
∂E mg
2�1/2 y − t ,
(b) Q2 = β2 = ∂W
= x +
∂αx
αx
m2 � 2
2m (E − mgz) − αx − α
g
2 und (c) Q3 =
�1/2 y
β3 = ∂W
= y +
∂αy
αy
m2 � 2
2m (E − mgz) − αx − α
g
2�1/2 y . (5.140)
Die erste Gleichung (5.140a) liefert über
die Beziehung
2mE − 2m 2 gz − α 2 x − α 2 y = m 2 g 2 (t + β1) 2
z(t) = − 1
2 g (t + β1) 2 + 2mE − � α2 x + α2 �
y
2m2 . (5.141)
g
Setzen wir dies in die Gleichungen (5.140b) und (5.140c) ein, folgt
x(t) = β2 + αx
m (t + β1) , y(t) = β3 + αy
m (t + β1) . (5.142)
Als spezielle Anfangsbedingungen für t = 0 wählen wir x(0) = y(0) = z(0) und px(0) = p0,
py(0) = pz(0) = 0.
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