R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
und setzen auf der rechten Seite Gleichung (4.74) ein:
ɛr(1 + cos φ) = (1 − ɛ)a [1 + ɛ − (1 − ɛ cos ψ)] ,
oder r(1 + cos φ) = a(1 − ɛ)(1 + cos ψ) . (4.76)
Ebenso subtrahieren wir auf beiden Seiten von Gleichung (4.75) ɛr:
ɛr(cos φ − 1) = a(1 + ɛ)(1 − ɛ) − r(1 + ɛ)
und setzen wieder auf der rechten Seite Gleichung (4.74) ein:
ɛr(cos φ − 1) = a(1 + ɛ) [1 − ɛ − (1 − ɛ cos ψ)] ,
so dass r(1 − cos φ) = a(1 + ɛ)(1 − cos ψ) . (4.77)
Dividieren wir Gleichung (4.77) durch Gleichung (4.76), erhalten wir unter Verwendung von
tan x
2 =
das Ergebnis tan
�
1 − cos x
1 + cos x
φ
2 =
�
1 + ɛ ψ
tan .
1 − ɛ 2
(4.78)
Diese Beziehung liefert direkt φ = φ(t), wenn wir die Abhängigkeit ψ(t) kennen. Dazu
transformieren wir Gleichung (4.67)
πab t
T
= 1
2
in eine Gleichung für ψ(t). Nach (4.78) ist
d φ 1
tan =
dt 2 cos2 φ
2
� φ
0
1 dφ
2 dt =
oder dφ =
Nach (4.76) ist
Damit erhalten wir
152
=
1 + cos ψ
r = a(1 − ɛ)
1 + cos φ
dφ ′
�
2
r φ ′�
�
1 + ɛ d ψ
tan
1 − ɛ dt 2 ,
�
1 + ɛ 1
1 − ɛ cos2 1 dψ
ψ 2 dt
2
�
1 + ɛ cos2 φ
2
1 − ɛ
,
cos 2 ψ
2
= a(1 − ɛ)cos2 ψ
2
cos 2 φ
2
r 2 ψ
cos2 2
dφ = r r dφ = a(1 − ɛ cos ψ)a(1 − ɛ)
cos2 φ
2
dψ . (4.79)
�
1 + ɛ
1 − ɛ
. (4.80)
cos2 φ
2
cos2 ψ
2
= a 2� 1 − ɛ 2 (1 − ɛ cos ψ)dψ , (4.81)
dψ