R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

2 Newtonsche Mechanik
mit den Anfangsbedingungen x(0) = x0 und ˙x(0) = ˙x0 zur Zeit t = 0.
Ein generelles Lösungsverfahren für diese allgemeinste Form der gewöhnlichen Differentialgleichung
2. Art gibt es nicht. Wir untersuchen deshalb Sonderfälle.
2.4.1 Zeitabhängiges Kraftfeld F = F (t)
Der Fall eines rein zeitabhängigen oder konstanten Kraftfeldes wurde schon in Gleichung
(2.49) behandelt.
Im Beispiel einer konstanten Kraft F = mg ergibt sich sofort die Lösung
x(t) = 1
2 gt2 + ˙x0t + x0 . (2.51)
2.4.2 Geschwindigkeitsabhängiges Kraftfeld F = f( ˙x) = f(v)
Im Fall einer geschwindigkeitsabhängigen Kraft ist die Bewegungsgleichung eine Differentialgleichung
1. Ordnung für v(t):
dv
dt
1
= f(v) ,
m
die sich durch Trennung der Variablen lösen lässt:
� ˙x
Durch Auflösen nach ˙x ergibt sich
˙x0
dv 1
=
f(v) m
� t
0
dt ′
˙x = dx
dt = G ( ˙x0, t)
und dann durch weitere Integration nach der Zeit
� t
x(t) = x0 +
0
dt ′
�
G ˙x0, t ′�
= t
. (2.52)
m
. (2.53)
Dies illustrieren wir am Beispiel einer Kraft F = −av2 , wobei a =const. In diesem Fall lautet
die Gleichung (2.52)
� ˙x a dv 1 1
t = − = −
m ˙x0 v2 ˙x ˙x0
.
Das Auflösen nach ˙x führt auf
dx
dt =
� �−1 a 1
t +
m ˙x0
und die nochmalige Integration über die Zeit ergibt die Lösung
x(t) = x0 + m
a ln
�
1 + a
m ˙x0t
�
.
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