R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.2.2 Schwingungsfall EG < 2
Setzen wir in der Bewegungsgleichung (3.14) EG = 2K 2 und substituieren wir Y = Kz, so
erhalten wir
oder
dz
dτ = � (1 − K2z 2 ) (K2 − K2z 2 ) ,
� z ds
� = τ . (3.22)
(1 − s2 ) (1 − K2s2 )
0
Gemäß unserer mathematischen Betrachtung in Kap. 3.2.1 können wir dann die Lösung
(3.22) auch als z = sn τ schreiben, d.h.
oder Y (t) =
Mit der Entwicklung
Y (τ) = K sn τ ,
1
(1 − K 2 s 2 )
� EG
2 sn
1
� 1 +
1/2 2 K2s 2
�
g
t . (3.23)
l
im Integranden von Gleichung (3.20) folgt für die Periode der Bewegung
ξ
4 �
� 1
�
ds
� 1 +
0 (1 − s2 )
1
2 K2s 2
=
�
arcsin(1) + K2
� 1 ds s
2 0
2
� =
(1 − s2 ) π
�
1 +
2
K2
oder ξ =
�
,
4
�
2π 1 + K2
�
.
4
(3.24)
Der Wert von K 2 = EG/2 bestimmt nach Gleichung (3.13) den Maximalwert der Schwingung
φ = U, an denen die Bewegung umkehrt, d.h. dφ/dτ φ=U = 0:
2 U
sin
2
=
EG
2 = K2 ,
so dass K = sin U
.
2
(3.25)
Für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage U ≪ 1 folgt K 2 � U 2 /4 und die Periode
(3.24) in der normierten Zeit τ ergibt sich zu
ξ = 2π
�
1 +
�
U 2
16
Rechnen wir auf die nichtnormierte Zeit t um, so folgt für die Schwingungsperiode bei kleinen
Auslenkungen
� � �
l U 2
T = 2π 1 + .
g 16
(3.26)
72
.