R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
5.3.2 Beispiele kanonischer Transformationen
(a) Identische Transformation:
Die Transformation
F2 (q, P, t) = �
j
qjPj
heißt identische Transformation, denn nach den Gleichungen (5.63)–(5.65) sind dann
pj = ∂F2 (q, P, t)
∂qj
Qj = ∂F2 (q, P, t)
∂Pj
= Pj ,
= qj
(5.71)
die neuen und alten Koordinaten gleich, ebenso wie die alte und neue Hamilton-Funktion
¯H = H.
Übungsaufgabe:
A5.3.1) Zeigen Sie, dass auch F3 = − �
j pjQj die identische Transformation ergibt.
(b) Punkttransformation:
Sei
F2 (q, P, t) = �
fk (q1, . . . , qs, t) Pk . (5.72)
Nach den Transformationsgleichungen (5.63)–(5.64) ergibt sich
pj = ∂F2 (q, P, t)
∂qj
und Qj = fj (q1, . . . , qs, t) ,
k
= � ∂fk
∂qj
d.h. hier hängen die neuen Koordinaten nur von den alten Koordinaten und der Zeit ab, nicht
aber von den alten Impulsen. Solche Transformationen bezeichnet man als Punkttransformationen.
Da die fk beliebig sind, folgt, dass alle Punkttransformationen kanonisch sind.
Nach Gleichung (5.65) enthält die neue Hamilton-Funktion die Zeitableitung (∂fk/∂t) der
Funktionen fk.
(c) Vertauschungstransformation:
Die Transformation
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F1 (q, Q, t) = � qjQj
k
Pk
(5.73)