R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.2.4 Fall EG = 2
Im Fall EG = 2 reduziert sich die allgemeine Bewegungsgleichung (3.14) auf
dY
dτ = (1 − Y 2 ) ,
oder mit der Anfangsbedingung Y (t = 0) = 0 auf
� Y
τ =
0
ds
= artanh Y ,
1 − s2 so dass Y (τ) = tanh τ . (3.31)
Für die zeitliche Variation des Winkels finden wir dann
φ(τ) = 2 arcsin Y (τ) = 2 arcsin(tanh τ) . (3.32)
Die Grenzlage φ = π wird erst für t ∝ τ → ∞ erreicht (siehe Abb. 3.3).
3.2.5 Rotationsfall EG > 2
φ
π
φ (τ)
Abbildung 3.3: Pendelbewegung im Grenzfall EG = 2
In diesem Fall ist nach Gleichung (3.11) die Gesamtenergie EG immer größer als die potenti-
elle Energie 1−cos φ, selbst an der Spitze der Bewegung φ = π, d.h. der Term 1
2 (dφ/dτ)2 , der
die kinetische Energie repräsentiert, ist immer größer Null, so dass das Pendelteilchen nie zur
Ruhe kommt. Wegen der fehlenden Umkehrpunkte kann es nicht zur Schwingungsbewegung
kommen: stattdessen rotiert das Teilchen ohne Ende.
74
τ