R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

y
r
y’
K K’
V
r’
3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze
x = x’
Abbildung 3.12: Transformation des Ortsvektors bei Galilei-Transformation
wobei M = �N i=1 mi die Gesamtmasse des Systems ist.
Definition: Das System, in dem der Gesamtimpuls � P ′
= �0 verschwindet, heißt Schwerpunktsystem.
Nach Gleichung (3.210) erhält man (wegen � P ′
= �0) � P = M � V oder
�V = � P
M =
�N i=1 mi ˙ �ri
�N i=1 mi
= ˙ R0
� , (3.211)
wobei � R0 der Schwerpunktvektor des Systems ist:
�R0 =
�N i=1 mi�ri
�N i=1 mi
. (3.212)
Aus Gleichung (3.211) folgt sofort der
Schwerpunktsatz: Bleibt der Gesamtimpuls � P eines Systems erhalten, so ist die Schwerpunktgeschwindigkeit
� V ebenfalls eine Erhaltungsgröße. Insbesondere ist dann das Schwerpunktsystem
ein Inertialsystem.
Abschließend betrachten wir die Bewegungsgleichung für den Gesamtimpuls bei konservativen
Kräften. Die Lagrange-Funktion eines N-Teilchensystems lautet
L =
N�
i=1
mi
2 ˙ �r 2 i − V .
Für konservative Kräfte ist V eine Funktion der N Ortsvektoren mit der Eigenschaft
�Fi = − � ∇iV = − ∂V
∂�ri
= ∂L
∂�ri
Aus der Summe der Lagrange-Gleichungen der einzelnen Massenpunkte folgt dann
N�
� �
d ∂L
dt
i=1 ∂ ˙ �
−
�ri
∂L
� N�
�
d
=
∂�ri dt
i=1
(�pi) − � �
Fi = d
dt � P − � F = �0 ,
oder
˙�P = � F . (3.213)
.
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