R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Durch Aufsummieren folgt sowohl
als auch
m�
j=1
m�
j=1 k=1
λj
3.11 Hamiltonsches Prinzip
n�
ajkδqk = 0 , (3.172)
n�
ajkδqk = 0 , (3.173)
k=1
wobei die Lagrangeschen Multiplikatoren λj, j = 1, 2, . . . , m, unbestimmte Parameter, im
Allgemeinen Funktionen der Zeit sind.
Da verschwindend, können wir nun Gleichung (3.173) oder dessen Zeitintegral
� t2
zum Hamiltonschen Prinzip (3.163)
δS = δ
� t2
t1
t1
m�
j=1 i=1
L (q1, . . . , qn, ˙q1, . . . , ˙qn, t) dt =
dazu addieren und erhalten
⎛
� t2 n�
⎝ ∂L
−
∂qi
d
� �
∂L
+
dt ∂ ˙qi
t1
i=1
n�
λjajiδqi dt = 0 , (3.174)
� t2
t1
m�
j=1
n�
�
∂L
−
∂qi
d
�
∂L
δqi dt = 0 ,
dt ∂ ˙qi
i=1
λjaji
⎞
⎠ δqi dt = 0 . (3.175)
Die δqi sind natürlich noch nicht unabhängig voneinander, sondern durch die m Beziehungen
(3.171) miteinander verknüpft. Das heißt: während die ersten n − m von ihnen
unabhängig voneinander gewählt werden können, sind die letzten m der δqi dann durch Gleichung
(3.171) festgelegt. Allerdings bleiben die Werte der Lagrange-Parameter λj zu unserer
freien Verfügung.
Wir wählen die λj so, dass
∂L
∂qi
− d
dt
� ∂L
∂ ˙qi
�
+
m�
λjaji = 0 , i = n − m + 1, . . . , n (3.176)
j=1
und betrachten diese Gleichungen als die Bewegungsgleichungen für die letzten m Variablen
qi.
Mit den durch (3.176) bestimmten λj können wir Gleichung (3.175) zu
� t2
t1
n−m �
i=1
⎛
⎝ ∂L
−
∂qi
d
dt
� ∂L
∂ ˙qi
�
+
m�
j=1
λjaji
⎞
⎠ δqi dt = 0 (3.177)
reduzieren. Die hierin auftretenden δqi sind nun unabhängig voneinander und es folgt
∂L
−
∂qi
d
� � m� ∂L
+ λjaji = 0 ,
dt ∂ ˙qi
i = 1, 2, . . . , n − m . (3.178)
j=1
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