R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

7.3 Lagrange-Formulierung der relativistischen Mechanik
Ebenfalls folgt für zwei Vierer-Vektoren Qµ und Rµ mit Gleichung (7.47)
(Qµ + Rµ) 2 = QµQ µ + 2QµR µ + RµR µ = Q 2 + R 2 + 2QµR µ = const ,
dass das Skalarprodukt
QµR µ = Q ′
µR ′ µ
(7.48)
invariant ist.
Gelingt es, die physikalischen Gesetze mithilfe von Vierer-Tensoren gleicher Ordnung zu
formulieren, ist die Kovarianz besonders leicht zu erkennen.
7.3 Lagrange-Formulierung der relativistischen Mechanik
Es seien ein Inertialsystem K und ein bewegtes Teilchen vorgegeben, das sich mit der momentanen
Geschwindigkeit �v relativ zu K bewegt. Es sei weiter K0 das momentane Ruhesystem
des Teilchens, wobei wir die Achsen des Bezugssystems K0 parallel zu denen von K wählen.
Die Verknüpfung dieser beiden Systeme ist dann durch die Lorentztransformation (7.24) zur
Geschwindigkeit � V = �v gegeben. Es gilt dann
oder für die Vierer-Invariante
(dτ) 2 = 1
c2 � 2 2 2 2 2
c (dt) − (dx) − (dy) − (dz) �
= (dt)2
c 2
�
c 2 −
= (dt) 2 c2 − v 2
c 2
� �2 dx
−
dt
(dt)2
=
γ2 ,
dτ = dt
γ
mit dem momentanen Lorentzfaktor des Teilchens
γ = � 1 − β 2� �
−1/2
= 1 − v2
c2 � �2 dy
−
dt
� � �
2
dz
dt
, (7.49)
� −1/2
. (7.50)
Das Äquivalenzpostulat erfordert die Gültigkeit des Hamilton-Prinzips in allen Inertialsystemen,
d.h. es muss kovariant formuliert werden, d. h. es darf sich der Form nach unter einer
Lorentz-Transformation nicht ändern.
Deshalb versucht man, das Wirkungsintegral in den Koordinaten und Geschwindigkeiten des
Minkowski-Raums und der Eigenzeit τ darzustellen:
S =
� τ1
wobei die Vierer-Geschwindigkeit uµ definiert ist durch
τ0
dτL ′
(xµ, uµ, τ) , (7.51)
uµ = dxµ
dτ = γ (c, − ˙x, − ˙y, − ˙z) = γc (1, −βx, −βy, −βz) (7.52)
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