R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

ω
(ω ,ω ,0)
1 2
e 1
e 3
6.6 Die Eulerschen Gleichungen
Abbildung 6.13: Kräftefreie Bewegung eines symmetrischen Kreisels
1/300. Die Winkelgeschwindigkeit seiner Rotation ist ω � ˜ω3 = 2π/86400, die Präzessionsfrequenz
daher Ω = ˜ω3/300, was einer Periode von 300 Tagen entspricht. Diese ist im
Wesentlichen identisch mit der Chandler-Periode der Polschwankungen von 429 Tagen, bei
denen der Abstand der Drehachse vom Nordpol im Mittel um etwa 4 m auf der Erdoberfläche
schwankt.
6.6.3 Beispiel 3: Kräftefreier asymmetrischer Kreisel
Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass Θ1 < Θ2 < Θ3 ist.
Als erstes multiplizieren wir jede der Eulergleichungen (6.85) mit ωi,
Θ1 ˙ω1ω1 = (Θ2 − Θ3) ω1ω2ω3
Θ2 ˙ω2ω2 = (Θ3 − Θ1) ω1ω2ω3
Θ3 ˙ω3ω3 = (Θ1 − Θ2) ω1ω2ω3 ,
und addieren die drei Gleichungen mit dem Ergebnis
oder
3�
Θi ˙ωiωi = ω1ω2ω3 [Θ2 − Θ3 + Θ3 − Θ1 + Θ1 − Θ2]
i=1
1
2
3�
i=1
was der Energieerhaltung entspricht.
= 0 = d
�
dt
1
2
3�
i=1
Θiω 2 i
�
Θiω 2 i = Trot = a = const , (6.91)
,
e 2
223