R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
und bestimmen die Werte der λi durch Einsetzen von (1.127) und (1.128) in die Beziehung
(1.126):
∂ψ
dq1 +
∂q1
∂ψ
dq2 +
∂q2
∂ψ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
λ1 h1dq1
dq3 = ⎝λ2⎠
· ⎝h2dq2⎠
= h1λ1dq1 + h2λ2dq2 + h3λ3dq3 .
∂q3
λ3 h3dq3
Der Koeffizientenvergleich in dieser Gleichung ergibt
λi = 1
hi
∂ψ
∂qi
und somit für die Ansatzgleichung (1.128):
, i = 1, 2, 3 (1.129)
�∇Φ
1 ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ
= �eq1 + �eq2 + �eq3 .
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
Wir finden also für den Gradienten in den krummlinigen Koordinaten die Darstellung
�∇
1 ∂ 1 ∂ 1 ∂
= �eq1 + �eq2 + �eq3 . (1.130)
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
Angewandt auf die speziellen Skalare q1,q2 und q3 folgt
wobei für den Betrag gilt
Weiterhin gilt
�∇q1 = �eq1
h1
,
�
�
�� �
�
∇qν�
= 1
� ∇q2 = �eq2
h2
hν
,
� ∇q3 = �eq3
h3
, (1.131)
, ν = 1, 2, 3 . (1.132)
�eq1 = h2h3 � ∇q2 × � ∇q3 ,
�eq2 = h3h1 � ∇q3 × � ∇q1 ,
�eq3 = h1h2 � ∇q1 × � ∇q2 . (1.133)
Beweis : Zum Beweis von (1.133) nutzen wir die Gleichungen (1.131):
h2h3 � ∇q2 × � �
�eq2
∇q3 = h2h3 ×
h2
�eq3
�
= �eq2 × �eq3 = �eq1 .
h3
Q.E.D.
1.11.3 Divergenz
Zur Berechnung von
34
div � A = � ∇ · (A1�eq1 + A2�eq2 + A3�eq3 )
= � ∇ · (A1�eq1 ) + � ∇ · (A2�eq2 ) + � ∇ · (A3�eq3 )