R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
wobei wir für das erste r Gleichung (4.74) eingesetzt haben, für das zweite r Gleichung
(4.80) und dφ nach Gleichung (4.79).
Für Gleichung (4.67) erhalten wir damit
πab t
T = a2√1 − ɛ2 2
� ψ
Mit b = a √ 1 − ɛ 2 folgt Kepler’s Gleichung
0
�
′
dψ 1 − ɛ cos ψ ′�
= a2√1 − ɛ2 (ψ − ɛ sin ψ) .
2
M = ψ − ɛ sin ψ (4.82)
für die mittlere Anomalie
M ≡ 2πt
, (4.83)
T
die die Winkelabweichung eines Körpers auf einer Kreisbahn mit der Periode T anzeigt. Die
Inversion von Gleichung (4.82) liefert direkt ψ(M) = ψ(t), das dann mittels Gleichung (4.78)
zur gewünschten Abhängigkeit φ(t) führt.
4.5.4 Näherungslösung der Kepler-Gleichung
Um Genauigkeiten auf 10 −6 für ein typisches ɛ = 0.1 zu erzielen, ist Gleichung (4.68)
unbrauchbar. Von den mehr als 120 bekannten Methoden zur näherungsweisen Lösung der
Kepler-Gleichung besprechen wir hier nur die einfache Methode von E. Brown (1931, Monthly
Notices Royal Astronomical Society 92, 104), die gut bis O(ɛ 4 ) ist. Wir setzen
ψ = M + η , (4.84)
mit dem Korrekturterm η in die Kepler-Gleichung (4.82) ein und erhalten
Mit der Reihen-Entwicklung der Sinus-Funktion folgt
so dass
sin η = η − η3
3!
+ η5
5!
η = ɛ sin(M + η) . (4.85)
− · · · = sin (ɛ sin(M + η))
= ɛ sin(M + η) − ɛ3
3! sin3 (M + η) + ɛ5
5! sin5 (M + η) − . . .
sin η − ɛ sin(M + η) = sin η − ɛ(sin M cos η + sin η cos M)
= − ɛ3
3! sin3 (M + η) + ɛ5
5! sin5 (M + η) − . . . . (4.86)
Definieren wir die neuen Größen α und β durch
β sin α ≡ ɛ sin M , β cos α ≡ 1 − ɛ cos M ,
so dass α =
ɛ sin M
arctan
1 − ɛ cos M
und β 2 sin 2 α + β 2 cos 2 α = β 2 = ɛ 2 sin 2 M + 1 − 2ɛ cos M + ɛ 2 cos 2 M
= 1 + ɛ 2 − 2ɛ cos M ,
(4.87)
oder β = � 1 + ɛ 2 − 2ɛ cos M . (4.88)
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