R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
1.3 Komponentendarstellung von Vektoren in kartesischen
Koordinaten
Jeder Vektor kann als Linearkombination der kartesischen Einheitsvektoren dargestellt werden:
⎛ ⎞
�a = ax�i + ay�j + az �k = ax�ex + ay�ey + az�ez = (ax, ay, az) = ⎝
ax
ay
az
⎠ , (1.9)
wobei (mit a = |�a|) ax = �a ·�i = a cos α, ay = �a · �j = a cos β und az = �a · � k = a cos γ die
jeweiligen Projektionen auf die kartesischen Einheitsvektoren bezeichnen (siehe Abb. 1.6).
ax i
x
z
α
γ
β
ay j
a
az k
Abbildung 1.6: Darstellung der Komponentendarstellung von Vektoren
Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann:
a = |�a| =
so dass folgt cos α = ax
a ,
cos β = ay
a ,
cos γ = az
a
y
�
a 2 x + a 2 y + a 2 z , (1.10)
. (1.11)
Mit der Komponentendarstellung lassen sich die Vektoroperationen aus Kap. 1.2 anders
formulieren:
8
(a) für die Addition gilt
�a + � b =
�
ax�i + ay�j + az � � �
k + bx�i + by�j + bz � �
k
= (ax + bx)�i + (ay + by)�j + (az + bz) � k ,
d.h. Vektoren werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert.