R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
gemäß Gleichung (2.29) konstant. Multiplizieren wir diese Gleichung mit (1/ml 2 ), so ergibt
sich die Bewegungsgleichung
Wir führen jetzt die dimensionslose Zeit
1
2 ˙ φ 2 + g
E
(1 − cos φ) = . (3.9)
l ml2 τ ≡ t
� l
g
ein. Damit reduziert sich die Bewegungsgleichung (3.9) auf die Form
1
2
� �2 dφ
+ (1 − cos φ) =
dτ
1
2
mit EG = E/(mgl), wobei wir die trigonometrische Beziehung
2 φ
1 − cos φ = 2 sin
2
(3.10)
� �2 dφ
2 φ
+ 2 sin
dτ
2 = EG , (3.11)
(3.12)
ausgenutzt haben. Aus Gleichung (3.11) folgt
dφ
dτ = � �
2EG 1 − 2 2 φ
sin . (3.13)
EG 2
Gemäß den allgemeinen Überlegungen von Kap. 2.4.3 zur Existenz von Umkehrpunkten
(dφ/dτ U = 0) der Bewegung in konservativen Kraftfeldern muss für Schwingungsbewegungen
der Wert von EG < 2 sein.
Substituieren wir φ = 2 arcsin Y in Gleichung (3.13), so folgt mit
für die Bewegungsgleichung
dφ
dτ =
2 dY
√
1 − Y 2 dτ
dY
dτ =
�
�1 2
− Y � � ��1/2 EG 2
− Y
2
Offensichtlich müssen wir drei Fälle untersuchen:
(a) EG < 2,
(b) EG = 2 und
(c) EG > 2,
. (3.14)
die wir getrennt betrachten. Dabei tauchen vollständige elliptische Integrale auf, so dass wir
mit einem kurzen mathematischen Einschub beginnen.
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