R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
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3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kräfte<br />
Wenn das System nicht abgeschlossen ist, kann seine Lagrange-Funktion trotzdem gegenüber<br />
einigen dieser Symmetrietransformationen invariant sein <strong>und</strong> zu den entsprechenden Bewegungsintegralen<br />
führen. Als Beispiel diene ein Massenpunkt m im homogenen Schwerefeld<br />
mit <strong>der</strong> Lagrange-Funktion<br />
L = m<br />
2<br />
� ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2 � − mgz .<br />
Obwohl dieses System nicht abgeschlossen ist, stellen die Verschiebungen in x- <strong>und</strong> y-<br />
Richtung <strong>und</strong> die Drehung um die z-Achse Symmetrieoperationen dar. Es bleiben daher<br />
px, py <strong>und</strong> Lz erhalten.<br />
Das Noether-Theorem wurde hier nur <strong>für</strong> autonome Systeme <strong>und</strong> zeitunabhängige Symmetrietransformationen<br />
bewiesen. Das Theorem gilt auch <strong>für</strong> den zeitabhängigen Fall, nimmt<br />
dann aber eine wesentlich kompliziertere Gestalt an (Killing-Gleichungen).<br />
Das Theorem von Noether bezieht sich nur auf Transformationen, die über einen Parameter<br />
kontinuierlich aus <strong>der</strong> Identität hervorgehen (siehe (3.220)–(3.222)). Daneben gibt es auch<br />
unstetige Transformationen wie die Raum-, Zeit- <strong>und</strong> Ladungsspiegelung, denen ebenfalls<br />
Erhaltungsgrößen zugeordnet sind (Parität). Sie spielen in <strong>der</strong> klassischen Mechanik kaum<br />
eine Rolle, sind aber von großer Bedeutung in <strong>der</strong> Quantenmechanik.<br />
3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kräfte<br />
Wir wollen nun die Lagrange-Gleichungen auf geschwindigkeitsabhängige Potentiale<br />
V ∗ (q1, . . . , qs, ˙q1, . . . , ˙qs, t) .<br />
erweitern, statt wie bisher konservative Fel<strong>der</strong> mit (∂V/∂ ˙qk) = 0 anzunehmen. Diese Erweiterung<br />
ist wichtig <strong>für</strong> die Behandlung <strong>der</strong> Lorentz-Kraft (Kap. 3.13.1) <strong>und</strong> von Reibungskräften<br />
(Kap. 3.13.2).<br />
Von dem geschwindigkeitsabhängigen Potential V ∗ for<strong>der</strong>t man, dass sich damit die verallgemeinerten<br />
Kräfte Qj (siehe Gleichung (3.86)) schreiben lassen als<br />
Qj =<br />
N�<br />
i=1<br />
�Ki · ∂�ri<br />
∂qj<br />
∂V ∗<br />
= − +<br />
∂qj<br />
d ∂V<br />
dt<br />
∗<br />
∂ ˙qj<br />
. (3.228)<br />
Setzen wir dies in Gleichung (3.91)<br />
� �<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙qj<br />
∂T<br />
ein, so folgt<br />
∂qj<br />
� �<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙qj<br />
= Qj , j = 1, . . . , s<br />
∂T<br />
∂qj<br />
= d<br />
o<strong>der</strong><br />
� �<br />
d ∂ (T − V ∗ )<br />
−<br />
dt ∂ ˙qj<br />
� �<br />
∂V ∗ ∂V ∗<br />
− ,<br />
dt ∂ ˙qj ∂qj<br />
∂ (T − V ∗ )<br />
∂qj<br />
= 0 ,<br />
so dass mit L = T − V ∗<br />
wie<strong>der</strong><br />
� �<br />
d ∂L<br />
−<br />
dt ∂ ˙qj<br />
(3.229)<br />
∂L<br />
∂qj<br />
= 0 , j = 1, . . . , s (3.230)<br />
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