R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

(A1.4.1) Beweisen Sie die Identität von Lagrange:
�
�a × � � �
b · �a × � �
b = a2b2 �
− �a · � �2 b .
1.5 Transformation von Vektoren
1.5 Transformation von Vektoren
Gemäß bisheriger Definition (siehe Kap. 1.1) ist ein Vektor “eine Größe mit Absolutwert und
Richtung”. Aber was heißt “Richtung” genau? Man kann nicht einfach sagen, dass ein Vektor
alles mit drei Komponenten ist. Die Eigenschaft “Richtung” lässt sich aber genau festlegen
durch das Transformationsverhalten von Vektoren bei “Änderung” des Koordinatensystems.
Dazu führen wir zunächst den Begriff des Ortsvektors ein.
Definition Ortsvektor: Jeder Punkt P (x, y, z) in einem dreidimensionalen Koordinatensystem
(x, y, z) kann durch seinen Ortsvektor �r eindeutig festgelegt werden, der als Abstandsvektor
vom Ursprung O(0, 0, 0) des Koordinatensystems definiert ist:
�r = OP = x�i + y�j + z � k = x�ex + y�ey = z�ez = (x, y, z) . (1.25)
Nun nehmen wir an, dass es ein zweites Koordinatensystem (x ′
, y ′
, z ′
) gibt, das um einen
Winkel φ relativ zum System (x, y, z) um die gemeinsame x-Achse gedreht ist (siehe Abb.
1.8)
z’
z
φ
r
r’ z =
Θ
| r | sinΘ’
x = x’
(aus Blattebene
hinaus)
r = | r|
cosΘ
y
Θ’
r’ = | r|
y
y’
cos Θ’
y
r = | r|
sin
Abbildung 1.8: Der Ortsvektor in zwei zueinander gedrehten Koordinatensystemen
Bezüglich der Komponenten des Ortsvektors �r gilt im ungestrichenen Koordinatensystem
wobei r = |�r| der Betrag des Ortsvektors ist.
Ebenso gilt im gestrichenen Koordinatensystem
ry = r cos Θ , rz = r sin Θ , (1.26)
r ′
y = r cos Θ ′
, rz ′ = r sin Θ ′
. (1.27)
z
Θ
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