R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.7.2 Integration von Vektoren
1.8 Koordinatensysteme
Analog zur Definition der Ableitung (1.41) eines Vektors definiert man das Integral eines
Vektors � A(u) über die Integrale seiner Komponenten
�
du � �
A(u) ≡ du [Ax(u)�e1 + Ay(u)�e2 + Az(u)�e3]
�
�
�
= du Ax(u) �e1 + du Ay(u) �e2 + du Az(u) �e3 . (1.56)
Als Beispiel betrachten wir den Vektor � A(u) = (3u 2 − 1, 2u − 3, 6u 2 − 4u) und berechnen
das Integral � 2
0 du � A(u). Entsprechend der Definition (1.56) ergibt sich
� 2
0
du � A(u) =
� 2
1.8 Koordinatensysteme
0
du � 3u 2 − 1, 2u − 3, 6u 2 − 4u �
= � u 3 − u, u 2 − 3u, 2u 3 − 2u 2�2 = (6, −2, 8) . (1.57)
0
Bisher haben wir nur mit kartesischen Koordinaten x, y, z gearbeitet. x, y, z eines Punktes
P sind definiert als die Projektionen des Ortsvektors �r = OP auf die Achsen �e1, �e2, �e3, d.h.
�r = x�e1 + y�e2 + z�e3 , mit |�ei| = 1 , i = 1, 2, 3 . (1.58)
Wir betrachten jetzt zusätzlich neue Koordinatensysteme q1, q2, q3 mit den Transformationsgleichungen
und der Umkehrtransformation
q1 = q1(x, y, z) , q2 = q2(x, y, z) , q3 = q3(x, y, z) (1.59)
x = x (q1, q2, q3) , y = y (q1, q2, q3) , z = z (q1, q2, q3) . (1.60)
Der Ortsvektor �r des Punktes P kann dann mittels Gleichung (1.60) als Funktion der krummlinigen
Koordinaten qi aufgefasst werden:
�r (q1, q2, q3) = (x (q1, q2, q3) , y (q1, q2, q3) , z (q1, q2, q3)) . (1.61)
1.8.1 Koordinatenlinien und Koordinatenflächen
Hält man zwei dieser drei neuen Koordinaten konstant und variiert man nur die dritte neue
Koordinate, so erhält man drei Koordinatenlinien:
L1 : �r = �r (q1, q2 = c2, q3 = c3)
L2 : �r = �r (q1 = c1, q2, q3 = c3)
L3 : �r = �r (q1 = c1, q2 = c2, q3)
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