R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
3. Keplersche Gesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit T ist proportional zur dritten Potenz
der großen Halbachse a:
T 2
= const. (4.64)
a3 Zum Beweis benutzen wir, dass die Fläche der Ellipse einerseits durch A = πab gegeben ist
und sich andererseits durch Integration des Flächensatzes (4.63) berechnen lässt:
A = πab =
Mit Gleichung (4.60) erhalten wir dann
� T
0
dt ˙
A =
T = 2πµ 2πµ
ab =
l l a3/2
oder T 2 2 µ
= 4π
α a3
�
T l
2µ .
l2 �
µ
= 2π
µα α a3/2 ,
Q.E.D.
Der Proportionalitätsfaktor ist mit der reduzierten Masse (4.8) gegeben durch
2 µ
4π
α
µ
= 4π2 = 4π
GMsmp
2 Msmp
=
(Ms + mp) GMsmp
4π2 4π2
�
G (Ms + mp) GMs
(4.65)
(4.66)
und ist für alle Planeten näherungsweise gleich.
Reale Planetenbahnen zeigen Abweichungen von Ellipsenbahnen aufgrund von Gravitationskräften
der Planeten untereinander, kleinen relativistischen Effekten und dem Quadrupolmoment
der Sonne, so dass es zu Abweichungen vom reinen 1/r-Potential kommt.
4.5.3 Kepler’s Gleichung
Wir kennen gemäß Gleichung (4.43) die Bewegungsgleichung in der Form
r(φ) =
p
1 + ɛ cos φ .
Für astronomische Beobachtungen ist aber die Lösung in der Form φ = φ(t) wichtig. Des
Weiteren interessiert die Abhängigkeit der Variation φ(t) von den zwei fundamentalen Konstanten
der Bewegung: die Umlaufzeit T und die Exzentrizität ɛ.
Zur Ableitung benutzen wir wieder den Flächensatz (4.63) ˙ A = const. Für die gesamte, bei
einem Umlauf überstrichene, Fläche galt
A =
� T
0
dt ˙
A = ˙
AT = πab ,
so dass in der Zeit t die Fläche πab(t/T ) überstrichen wird, d.h.
πab t
T =
�
dA .
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