R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.9 Weitere Anwendungen
3.9.1 Schiefe Ebene
(Vergleiche mit Kap. 3.1.1 und 3.4.1)
Wir wählen die Weglänge s auf der schiefen Ebene (siehe Abb. 3.1) als verallgemeinerte
Koordinate. Dann lauten die Transformationen zu den kartesischen Koordinaten
x = x(s) = s cos α , y = y(s) = 0 , z = z(s) = s sin α . (3.106)
Aus
T = m � 2 2 2
˙x + ˙y + ˙z
2
�
folgen T =
und V = mgz
m
2 ˙s2 , V = mgs sin α ,
so dass die Lagrange-Funktion durch
gegeben ist. Mit
∂L
∂s
folgt als Lagrange-Gleichung
mit der allgemeinen Lösung
3.9.2 Doppelpendel
L = T − V = m
2 ˙s2 − mgs sin α (3.107)
= −mg sin α ,
∂L
∂ ˙s
= m ˙s ,
m¨s = −mg sin α ,
d
dt
� �
∂L
= m¨s
∂ ˙s
s(t) = − g
2 t2 sin α + V0t + s0 . (3.108)
Wir betrachten zwei Teilchen der Massen m1 und m2, die durch einen leichten (masselosen)
Stab der Länge l2 verbunden sind, und die durch einen ähnlichen Stab der Länge l1 im
Ursprung aufgehängt sind, der an einem der Teilchen befestigt ist (Abb. 3.6).
Geeignete verallgemeinerte Koordinaten sind die beiden Winkel θ1 und θ2, die mit den kartesischen
Ortsvektoren über
x1 = l1 cos θ1 , y1 = l1 sin θ1
und x2 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2 , y2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
zusammenhängen. Mit
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˙x1 = −l1 ˙ θ1 sin θ1 , ˙y1 = l1 ˙ θ1 cos θ1 ,
˙x2 = −l1 ˙ θ1 sin θ1 − l2 ˙ θ2 sin θ2 , ˙y2 = l1 ˙ θ1 cos θ1 + l2 ˙ θ2 cos θ2