R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.6 Separation der Variablen
Die Konstante E ist in der Regel, nämlich bei skleronomen Zwangsbedingungen, die Gesamtenergie
des Systems. Die Funktion W (�q| � P ) wird Hamiltonsche charakteristische Funktion
genannt.
Die Konstante E ist von den neuen Impulsen Pj = αj abhängig:
E = E (α1, . . . , αs) . (5.117)
Die durch die Funktion (5.115) erzeugte kanonische Transformation ist nach den Gleichungen
(5.63)–(5.64) gegeben durch
pj = ∂S
∂qj
Qj = ∂S
∂Pj
5.6 Separation der Variablen
= ∂W
∂qj
= ∂S
∂αj
, (5.118)
= ∂W
∂αj
− ∂E
t . (5.119)
∂αj
Ist das Hamilton-Jacobi-Verfahren überhaupt hilfreich? Man ersetzt schließlich 2s gewöhnliche
(Hamiltonsche) Differentialgleichungen durch eine partielle Differentialgleichung. Letztere
sind aber im Allgemeinen schwieriger zu lösen. Die Hamilton-Jacobi-Methode ist nur
dann ein mächtiges Verfahren, wenn sich die HJD separieren lässt.
Betrachten wir den Fall einer alten Hamilton-Funktion, die nicht explizit von der Zeit t
abhängt, so dass nach Gleichung (5.116)
�
H �q, ∂W
, . . . ,
∂q1
∂W
�
= E . (5.120)
∂qs
Wir nehmen an, dass q1 und (∂W/∂q1) in H nur in der Form
�
f q1, ∂W
�
∂q1
erscheinen, wobei die Funktion f keine anderen qj und (∂W/∂qj) mit j > 1 enthält. Dann
reduziert sich die HJD (5.120) auf
H
�
q2, . . . , qs, ∂W
∂q2
Es empfiehlt sich der Ansatz
� �
�
W �q � � �
P = ¯ � �
�
W q2, . . . , qs � � � �
P + W1
Einsetzen in Gleichung (5.121) liefert
H
�
q2, . . . , qs, ∂ ¯ W
∂q2
, . . . , ∂W
�
, f q1,
∂qs
∂W
��
= E . (5.121)
∂q1
q1
�
�
� � �
P . (5.122)
, . . . , ∂ ¯ �
W
, f q1,
∂qs
∂W1
��
= E . (5.123)
∂q1
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