R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
Da das System konservativ ist, ist die Gesamtenergie ebenfalls eine Erhaltungsgröße:
E = T + V = Θ1
2
� ˙φ 2 sin 2 θ + ˙ θ 2 �
+ Θ3
= Θ1
2 ˙ θ 2 + Θ1
2
2
�
pφ − pψ cos θ
Θ1 sin θ
� �
˙φ 2 2
cos θ + ψ˙ 2
+ 2φ˙ ψ˙ cos θ
� 2
+ Mgl cos θ
+ p2 ψ
+ Mgl cos θ . (6.127)
2Θ3
wobei die Gleichungen (6.121) und (6.123) verwandt wurden. Es folgt
˙θ 2 = 2
�
E −
Θ1
p2 ψ
2Θ3
− 1
� � �
2
pφ − pψ cos θ
− Mgl cos θ .
2Θ1 sin θ
(6.128)
Zur Lösung substituieren wir u ≡ cos θ, oder θ = arccos u, so dass
dθ
dt
1
= −√
1 − u2 und sin 2 θ = 1 − u 2 . Dann erhalten wir für Gleichung (6.128)
˙u 2
�
2
= E −
1 − u2 Θ1
p2 �
ψ
−
2Θ3
(pφ − pψu) 2
Θ2 1 (1 − u2 2Mglu
− ,
) Θ1
oder ˙u 2 = � � �
1 − u
2� 2
E −
Θ1
p2 �
ψ
−
2Θ3
2Mglu
� �
pφ − pψu
−
Θ1
Θ1
Gleichung (6.129) führt auf das Integral
� u(t)
t − t0 = ±
u(t0)
�
du
dt
du
2
Θ1 (1 − u2 �
) E − p2 �
ψ
− Mglu
2Θ3
−
� �
pφ−pψu
2
Θ1
� 2
. (6.129)
, (6.130)
das die formale Lösung u(t) und damit θ(t) ergibt. Das Polynom unter der Wurzel von
Gleichung (6.130) ist 3. Grades in u, so dass wir auf elliptische Integrale als vollständige
Lösungen kommen.
Allerdings ist eine qualitative Diskussion der möglichen Lösungen leicht möglich. Dazu defi-
nieren wir die Funktion
f(u) ≡ 2
Θ1
Damit lautet Gleichung (6.129) einfach
�
� � 2
1 − u E − p2 �
ψ
− Mglu −
2Θ3
� pφ − pψu
Θ1
� 2
. (6.131)
˙u 2 = f(u) . (6.132)
Offensichtlich brauchen wir für reelle Werte von ˙u, dass f(u) ≥ 0 zwischen |u| ≤ 1. An
den Nullstellen der Funktion f wechseln ˙u und damit ˙ θ ihr Vorzeichen, d.h. diese Nullstellen
definieren gerade die Umkehrpunkte der Bewegung von θ.
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