R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Mit
dy
dx
gilt dann J(α) =
= 1 + α cos x
� 2π
0
dx � 1 + 2α cos x + α 2 cos 2 x � = 2π + πα 2 .
Man erkennt, dass J(α) > J(0) ∀α und die Bedingung (3.125) erfüllt sind
� �
∂J(α)
= [2απ] α=0 = 0 .
∂α
α=0
Beispiel 2: Wir betrachten die Gleichung für die Linie, die den kürzesten Abstand zwischen
den Punkten (x1, y1) = (0, 0) und (x2, y2) = (1, 0) in der Ebene ergibt. Das ist natürlich die
x-Axchse y(0, x) = 0. Wir ändern den Pfad durch
y(α, x) = y(0, x) + αη(x) = 0 + α(x 2 − x) , (3.126)
wählen also η(x) = x2 − x, dass wieder η(x1) = η(0) = 0 und η(x2) = η(1) = 0 erfüllt sind.
Das Abstandsdifferential ist
ds = � dx2 + dy2 �
� �2 dy
= 1 + dx (3.127)
dx
und die gesamte Weglänge ist dann
Gemäß Gleichung (3.126) folgt
s =
� 1
0
y ′
(α, x) =
so dass s(α) =
dx
�
1 +
� �2 dy
.
dx
dy(α, x)
= α(2x − 1) ,
dx
� 1
Dieses Integral ergibt (Übungsaufgabe)
s(α) = 1�
1
1 + α2 +
2
2α
Die Taylor-Entwicklung für kleine Werte α ≪ 1 führt auf
s(α ≪ 1) � 1
2
0
�
1 + α2
2 + O � α 4��
+ 1
2α
= 1 + α2
6 + O � α 4� ,
so dass J(α) = s(α) = 1 + α2
6 + O � α 4�
und
∂J(α)
∂α
= ∂s(α) α
=
∂α 3 + O � α 3� .
98
dx � 4α 2 x 2 − 4α 2 x + α 2 + 1 . (3.128)
arsinh α . (3.129)
�
α − α3
6 + O � α 5��