R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze
2. Newton betont äußere Einwirkungen auf einen Körper (wie die Kraft), während bei der
Lagrange-Dynamik physikalische Größen betrachtet werden, die mit dem Körper assoziiert
sind (kinetische und potentielle Energie). Nirgendwo in der Lagrange-Formulierung
geht das Konzept einer Kraft ein. Dies ist besonders wichtig, denn Energien sind Skalare,
so dass die Lagrange-Funktion invariant ist gegen Koordinaten-Transformationen!
3. Bei komplexen mechanischen Problemen ist es oft schwierig, alle Kräfte anzugeben,
und leichter, die kinetische und potentielle Energie aller interessierenden Massenpunkte
zu berechnen.
4. Die Newton-Mechanik ist die differentielle Formulierung (Änderung; Ableitung) der
Mechanik. Das Hamilton-Prinzip ist die integrale Formulierung. Beide Formulierungen
sind völlig äquivalent.
5. Nach dem Hamilton-Prinzip richtet die Natur es so ein, dass das Zeitintegral über die
Differenz von kinetischer und potentieller Energie minimiert wird. Manche Zeitgenossen
bezeichnen dies als: “Natur ist faul”.
3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze
Erhaltungssätze ermöglichen allgemeine Aussagen über das Verhalten eines physikalischen
Problems, ohne die Lösungen der Bewegungsgleichungen mit ihrer Zeitabhängigkeit zu kennen.
Eine Größe F ist Erhaltungsgröße, wenn sie sich nicht mit der Zeit ändert, d.h.
d
F = 0 . (3.193)
dt
Der Lagrange-Formalismus ermöglicht das schnelle Erkennen von Erhaltungsgrößen. Betrachten
wir die Lagrange-Gleichungen 2. Art (3.96):
d
dt
� ∂L
∂ ˙qj
�
− ∂L
∂qj
= 0 , j = 1, . . . , s .
Falls es eine verallgemeinerte Koordinate qk gibt, die nicht explizit in der Lagrange-Funktion
auftaucht, d.h. ∃qk mit (∂L/∂qk) = 0, dann folgt aus der Lagrange-Gleichung
und (∂L/∂qk) ˙ ist Erhaltungsgröße.
Definition 1:
d
dt
� �
∂L
= 0 (3.194)
∂ ˙qk
pk ≡ ∂L
∂ ˙
qk
heißt der zur Koordinate qk kanonisch konjugierte Impuls.
(3.195)
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