R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
4.2.5 Bewegungen im Zentralfeld
Gemäß der allgemeinen Diskussion in Kap. 4.2.3 verläuft die Bewegung im Bereich rmin ≤
r(t) ≤ rmax, wobei der minimale (rmin) und maximale (rmax) Abstand durch die Nullstellen
der Funktion
E − Veff = E − V (r) − l2
= 0 (4.30)
2µr2 gegeben sind. Für spezielle Werte von V (r), E und l hat Gleichung (4.30) nur eine Nullstelle:
in solchen Fällen gilt dann nach (4.22), dass ˙r = 0 ∀t und r = const. Das Teilchen bewegt
sich dann auf einer Kreisbahn.
Ist die Bewegung im Potential V (r) periodisch, dann verläuft die Bahn, wie in Abb. 4.6
skizziert, in geschlossenen Bahnen.
δφ
Abbildung 4.6: Geschlossene Bahnkurven
Die Änderung im Winkel φ bei der Variation von r von rmin bis rmax und zurück lässt sich
aus Gleichung (4.29) berechnen:
∆φ = 2l
� rmax
µ rmin
Die Bewegung ist geschlossen, falls
� rmax
= 2l
rmin
dr
r2 �
2
µ (E − Veff (r))
dr
r2� . (4.31)
2µ (E − Veff (r))
∆φ = 2π a
b
, (4.32)
wobei a, b ∈ IN beliebige ganze Zahlen sind. Dann wiederholt sich die Bahn nach b Perioden
weil sin(2πa) = 0. Man kann zeigen (Übungsaufgabe), dass dies nur für Potentialverläufe
V (r) ∝ r n mit n = −1 und n = 2 auftreten kann.
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