R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwerefeld
Bei extrem kleinen Auslenkungen U ≪ 1 hängt die Periode (3.26) nicht mehr von der
Auslenkung U ab und ist durch T0 = 2π � l/g gegeben (Isochronie des mathematischen
Pendels).
3.2.3 Grenzfall extrem kleiner Auslenkungen EG ≪ 1
Der Grenzfall extrem kleiner Auslenkungen φ ≤ U ≪ 1 lässt sich auch direkt leicht durch
die Newtonschen Bewegungsgleichungen lösen. Mit der Rückstellkraft (3.6) erhalten wir für
die dynamische Gleichung (2.3) in der Variablen s = lφ die nichtlineare Gleichung
Für extrem kleine Auslenkungen
m¨s = ml ¨ φ = FR = −mg sin φ . (3.27)
φ ≤ U ≪ 1
nähern wir FR = −mg sin φ � −mgφ (3.28)
und die dynamische Gleichung (3.27) wird zur einfachen Schwingungsgleichung
¨φ + ω 2 φ = 0 , (3.29)
�
g
mit ω =
l .
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung mit der Anfangsbedingung φ(t = 0) = 0 ist
mit der Schwingungsperiode
φ(t) = U sin ωt , (3.30)
T0 = 2π
ω
�
l
= 2π
g ,
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis (3.26). Offensichtlich ist der Zusatzterm U 2 /16 in
Gleichung (3.26) die niedrigste Korrektur zur Schwingungsdauer bei Berücksichtigung der
Nichtlinearität der Bewegungsgleichung (3.27).
Übungsaufgaben:
(A3.2.1) Zeigen Sie durch Entwicklung des Integranden bis zur 4. Ordnung in K = sin U/2,
dass für die Periode des Pendels im Schwerefeld gilt
� 1
�
ds
ξ = 4 � � 2π 1 +
(1 − s2 ) (1 − K2s2 ) K2
�
9K4
+ .
4 64
0
(A3.2.2) Berechnen Sie die Periode näherungsweise bis zur 4. Ordnung im maximalen Auslenkungswinkel
U zu
�
�
U 2 11 4
ξ � 2π 1 + + U
16 3072
.
Wie groß sind die Korrekturterme für U = 10 ◦ , 20 ◦ und 45 ◦ ?
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