R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
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3.12 Symmetrien <strong>und</strong> Erhaltungssätze<br />
Nach diesen zwei Drehungen erhalten wir den Vektor<br />
�r + δ�r1,2 =<br />
�<br />
�r + d� φ1 × �r + d� �<br />
φ2 × (�r + δ�r1) ,<br />
so dass δ�r1,2 = d � φ1 × �r + d � φ2 × �r ,<br />
wobei wir den Term 2. Ordnung d� φ2 × δ�r1 aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Annahme infinitesimal kleiner<br />
Drehwinkel vernachlässigen können.<br />
Nun vertauschen wir die Reihenfolge <strong>der</strong> Drehungen 1 <strong>und</strong> 2 <strong>und</strong> erhalten ebenso den Vektor<br />
�<br />
�r + δ�r2,1 = �r + d� φ2 × �r + d� �<br />
φ1 × (�r + δ�r2) ,<br />
mit δ�r2,1 = d � φ2 × �r + d � φ1 × �r = δ�r1,2 ,<br />
womit die Kommutativität <strong>der</strong> Rotationsvektoren d � φ1 <strong>und</strong> d � φ2 bewiesen ist.<br />
Da Gleichung (3.214) <strong>für</strong> die Än<strong>der</strong>ung aller Vektoren gilt, erhalten wir speziell <strong>für</strong> das<br />
Verhalten <strong>der</strong> Geschwindigkeitsvektoren bei infinitesimalen Rotationen<br />
δ ˙ �r = d � φ × ˙ �r . (3.215)<br />
Für die Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Lagrange-Funktion eines N-Teilchensystems bei infinitesimalen Rotationen<br />
erhalten wir dann<br />
δL =<br />
=<br />
N�<br />
�<br />
∂L<br />
· δ�ri +<br />
∂�ri<br />
i=1<br />
∂L<br />
∂ ˙ · δ<br />
�ri<br />
˙ �<br />
�ri<br />
N�<br />
�<br />
∂L<br />
�<br />
· d<br />
∂�ri<br />
� �<br />
φ × �ri + ∂L<br />
∂ ˙ �<br />
· d<br />
�ri<br />
� φ × ˙ �<br />
�ri<br />
�<br />
i=1<br />
Mit den konjugierten Impulsen �pi = ∂L/∂ ˙ �ri <strong>und</strong> den Lagrange-Gleichungen<br />
folgt <strong>für</strong> Gleichung (3.216)<br />
δL =<br />
N�<br />
i=1<br />
d ∂L<br />
dt ∂ ˙ �ri<br />
= ˙ �pi = ∂L<br />
∂�ri<br />
� �<br />
˙�pi · d� � �<br />
φ × �ri + �pi · d� φ × ˙ ��<br />
�ri<br />
. (3.216)<br />
. (3.217)<br />
Aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> zyklischen Vertauschbarkeit <strong>der</strong> Spatprodukte (vgl. Gl. (1.24)) folgt<br />
δL =<br />
N�<br />
i=1<br />
= d � φ ·<br />
�<br />
d� �<br />
φ · �ri × ˙ �<br />
�pi + d� � ��<br />
φ · ˙�ri × �pi<br />
N�<br />
i=1<br />
d<br />
dt [�ri × �pi] = d � φ ·<br />
N�<br />
i=1<br />
d<br />
dt � li , (3.218)<br />
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