R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
4.4.3 Hyperbel
r
φ
g
F (−c,0)
P
y
x
y L
Abbildung 4.8: Parabel
Unter einer Hyperbel versteht man den geometrischen Ort aller Punkte P einer Ebene, deren
Entfernungen von zwei festen Brennpunkten F (c, 0) und F ′
(−c, 0) eine konstante Differenz
ergeben (Abb. 4.9), d.h.
ergibt den einen Ast der Hyperbel, während
den zweiten Ast der Hyperbel ergibt.
Der Kosinussatz im Dreieck ∆(F ′
P F ) führt auf
oder r ′
c
d
r − r ′
= 2a , wobei 2a < F F ′ = 2c (4.50)
x
r ′
− r = 2a (4.51)
r ′ 2 = r 2 + 4c 2 − 4rc cos (π − φ) = r 2 + 4c 2 + 4rc cos φ ,
= � r 2 + 4c 2 + 4rc cos φ .
Eingesetzt in Gleichung (4.50) ergibt
r − 2a = � r 2 + 4c 2 + 4rc cos φ .
Durch Quadrieren dieser Gleichung erhalten wir
r 2 − 4ar + 4a 2 = r 2 + 4c 2 + 4rc cos φ ,
oder r (a + c cos φ) = a 2 − c 2 . (4.52)
Wir führen wieder die Exzentrizität mit c = ɛa ein, jetzt aber mit ɛ > 1 weil c > a (siehe
Abb. 4.9). Dann erhalten wir aus Gleichung (4.52)
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r = a2 − c2 a + c cos φ = a � 1 − ɛ2� . (4.53)
1 + ɛ cos φ