R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
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6.7 Die Eulerschen Winkel<br />
6.7 Die Eulerschen Winkel<br />
Für nicht-verschwindende äußere Drehmomente � D �= �0 müssen wir die Orientierung des<br />
körperfesten Koordinatensystems relativ zum raumfesten Koordinatensystem mit Hilfe von<br />
drei unabhängigen Parametern beschreiben. Nur wenn man solche generalisierten Koordinaten<br />
gef<strong>und</strong>en hat, können wir auch den Lagrange-Formalismus im raumfesten Inertialsystem<br />
auf den starren Körper anwenden. Eine spezielle Wahl dieser Koordinaten sind die Eulerschen<br />
Winkel φ, θ <strong>und</strong> ψ.<br />
Gesucht ist eine Transformationsmatrix Â(φ, θ, ψ), die einen Vektor in den raumfesten Koordinaten<br />
(x, y, z) in die körperfesten Koordinaten (x ′<br />
, y ′<br />
, z ′<br />
) transformiert, d.h.<br />
�<br />
x ′<br />
, y ′<br />
, z ′�<br />
= Â (φ, θ, ψ)<br />
mit  =<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
⎝y⎠<br />
, (6.99)<br />
⎛<br />
z<br />
⎞<br />
⎝<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
⎠ mit aij = aij (φ, θ, ψ) . (6.100)<br />
Man kann die Transformation mittels dreier aufeinan<strong>der</strong>folgen<strong>der</strong> Drehungen ausführen, wobei<br />
vorher genau festgelegt wird, welche drei Drehungen in welcher Reihenfolge ausgeführt<br />
werden sollen. Jede dieser Drehungen kann durch einen Drehwinkel festgelegt werden, z. B.<br />
ist nach Gleichung (6.9) die Drehmatrix <strong>für</strong> eine Drehung um einen Winkel φ um die z-Achse<br />
⎛<br />
cos φ<br />
Âz (φ) = ⎝−<br />
sin φ<br />
sin φ<br />
cos φ<br />
⎞<br />
0<br />
0⎠<br />
.<br />
0 0 1<br />
Die Eulerschen Winkel sind die Drehwinkel dreier spezieller einparametriger Drehungen, die<br />
hintereinan<strong>der</strong> geschaltet werden:<br />
1. Drehung um den Winkel φ um die z-Achse:<br />
⎛<br />
cos φ<br />
ˆD (φ) = ⎝−<br />
sin φ<br />
sin φ<br />
cos φ<br />
⎞<br />
0<br />
0⎠<br />
.<br />
0 0 1<br />
Dadurch ergibt sich das in Abb. 6.14 gezeigte Koordinatensystem (ξ, η, χ) durch<br />
(ξ, η, χ) = ˆ ⎛ ⎞<br />
x<br />
D (φ) ⎝y⎠<br />
.<br />
z<br />
2. Drehung um den Winkel θ um die ξ-Achse (neue x-Achse):<br />
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