R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
Wir benutzen (Gradshteyn und Ryzhik 1965, Formel 1.623.1)
arcsin x = π
− arccos x ,
2
so dass arcsin(−x) = − arcsin(x) = arccos(x) − π
2
und erhalten damit für (4.38)
φ − φ0 = arccos
Wir wählen als Anfangsbedingung
so dass als Lösung folgt
φ = arccos
1
r �
2µE
l2 + α2 µ 2
l4 − αµ
l 2
φ0 = arccos
1
r �
2µE
l2 + α2 µ 2
l4 − αµ
l 2
− arccos
1
r0 �
2µE
l2 + α2 µ 2
l4 − αµ
l 2
Lösen wir Gleichung (4.39) nach r auf, so erhalten wir über
l2 �
= 1 + 1 +
αµr 2El2
cos φ
µα2 die invertierte Lösung
Wir definieren jetzt zwei Parameter:
r = l2
� �
µα
1 + 1 + 2El2
cos φ
µα2 Exzentrizität: ɛ ≡
1
r0 �
2µE
l2 + α2 µ 2
l4 ,
l2 αµr
− αµ
l 2
− 1
= arccos �
1 + 2El2
µα2 . (4.39)
�
�−1
1 + 2El2
µα 2
.
. (4.40)
(4.41)
und Bahnparameter: p ≡ l2
. (4.42)
µα
Damit schreibt sich die Bahnkurve (4.40) kompakt als
r(φ) =
p
. (4.43)
1 + ɛ cos φ
Wie wir uns im nächsten Abschnitt überzeugen, ist Gleichung (4.43) die allgemeine Bestimmungsgleichung
eines Kegelschnitts, d.h. des Schnittes einer Ebene mit einem Kreiskegel,
ausgedrückt in Polarkoordinaten, wobei ein Brennpunkt mit dem Koordinatenursprung von
r (!) zusammenfällt, also mit dem Schwerpunkt des Zweikörperproblems, der bei der Planetenbewegung
praktisch mit der Position der Sonne zusammenfällt (siehe Gleichung (4.5)).
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