R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

wir mit Gleichung (4.19) für die “Flächengeschwindigkeit”
A ˙ = dA
dt
4.2 Relativbewegung
1 dφ 1
= r2 =
2 dt 2 r2φ ˙
l
= = const. (4.20)
2µ
Damit haben wir den Flächensatz oder das 2. Keplersche Gesetz bewiesen: Der Fahrstrahl
�r überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
4.2.2 Energieerhaltungssatz
Aus der Lagrange-Funktion (4.18) erhalten wir
und
∂Lrel
∂r
∂Lrel
∂ ˙r
= µr ˙ φ 2 − ∂V
∂r
= µ ˙r ,
d
dt
� �
∂Lrel
= µ¨r ,
∂ ˙r
so dass für die Lagrange-Gleichung der Relativbewegung bezüglich der Koordinate r folgt
Nach Gleichung (4.19) ist
so dass µ¨r − l2 ∂V
+
µr3 ∂r
µ¨r − µr ˙ φ 2 + ∂V
∂r
˙φ 2 =
Multiplizieren wir diese Gleichung mit ˙r,
µ¨r ˙r + dr ∂
dt ∂r
l 2
(µ 2 r 4 ) ,
= µ¨r + ∂
∂r
� l 2
= 0 . (4.21)
� l 2
�
+ V (r)
2µr2 �
+ V (r)
2µr2 = 0
und wenden die Kettenregel der Differentiation an, so erhalten wir
�
d µ
dt 2 ˙r2 + l2
�
+ V (r) = 0
2µr2 oder
Dies ist natürlich der bekannte Energieerhaltungssatz
E = T + V = µ
2
= 0 .
µ
2 ˙r2 + l2
+ V (r) = E = const. (4.22)
2µr2 �
˙r 2 + r 2 φ˙ 2 �
+ V (r) = µ
2 ˙r2 + l2
+ V (r) = const.
2µr2 da wir ja von vorneherein ein nicht-dissipatives konservatives System betrachtet haben.
Mit der Definition des effektiven Potentials
Veff (r) ≡ V (r) + l2
2µr 2
(4.23)
schreibt sich der Energieerhaltungssatz (4.22) als
µ
2 ˙r2 + Veff (r) = E = const. (4.24)
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